a,b,cを整数、nを自然数の定数とする。
a^2+n×b^2=c^2
となっているとするとき、
s=2(a+nb-c)/n
とすると、
(s-a)^2+n×(s-b)^2=(s-c)^2
となっているだろうと予想しました。
つまり、平方と平方のn倍の和が平方になっているような3つの数の組があるとき、この計算をすることで、同じようになっている新たな3つの数の組を見つけることができるということです。
例をあげます。
1^2+2×2^2=(-3)^2
つまり、a=1,b=2,c=-3,n=2とすると、
s=2(a+nb-c)/n=2(1+2×2-(-3))/2=8
なので、
s-a=7
s-b=6
s-c=11
となり、実際に、
7^2+2×6^2=11^2
となっています。
また、この計算はもっと一般化できるみたいです。
a,b,cを整数、nを自然数の定数、mを整数の定数とするとき、
a^2+n×b^2+m=c^2
となっているならば、
s=2(a+nb-c)/n
とすると、
(s-a)^2+n×(s-b)^2+m=(s-c)^2
となっているようなのです。
僕自身、これほどまでに二重ピタゴラス操作の考え方を拡張して使うことができると思っていなかったので、驚いています。
お読みいただきありがとうございました！
2020/8/26の追記
証明できたので追記します
a,b,c,mを整数、nを0でない整数とするとき、
a^2＋n×b^2＋m＝c^2
ならば、s＝2(a＋nb－c)/nとすると
(s－a)^2＋n×(s－b)^2＋m＝(s－c)^2
となっていることを示します
s=0のとき
(s－a)^2＋n×(s－b)^2＋m＝(s－c)^2
にs＝0を代入するとa^2＋n×b^2＋m＝c^2になるので、成立します
s≠0のとき
(s－a)^2＋n×(s－b)^2＋m＝(s－c)^2
を展開します
(s^2－2as＋a^2)＋n(s^2ー2bs＋b^2)＋m＝s^2ー2cs＋c^2
これを整理すると
(a^2＋nb^2＋m)＋ns^2－2s(a＋bn)＝ー2cs＋c^2
となり
a^2＋n×b^2＋m＝c^2なので、
ns^2－2s(a＋bn)＝ー2cs
が分かります
s≠0の場合を考えているので、両辺をsで割ると
ns－2(a＋bn)＝ー2c
となり、整理すると
s＝2(a＋bnーc)/n
となるので、示せました
