前回の記事
ではレピュニット数(1のゾロ目になっている数)同士の2つのかけ算を考えました。
今回は主に3つ以上のレピュニット数のかけ算を考えます。
この記事では桁の中が10以上になって繰り上がるのを避けるため
125を{1,2,5}
と表記し、桁の間にコンマを入れることにします。
このように表記した数同士のかけ算は
以前の記事『数列の環』で定義した数列の積(かけ算)と同一視できます
では、まず3つのレピュニット数のかけ算をします。
{1,1}×{1,1}、つまり{1,2,1}をレピュニット数にかけていくと
{1,1}×{1,2,1}={1,3,3,1}
{1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,3,1}
{1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,3,1}
{1,1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,4,3,1}
{1,1,1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,4,4,3,1}
となり、{1,1,1}以上のレピュニット数にかけると
「両端が1、端から2番目が3、それより内側が4」になるようです。
簡潔にするため、aがb個並んでいたなら[a○b]と書くことにします。
例えば{a,a,a,a}={[a○4]}とします。
{a,b,b,b,c,d}={a,[b○3],c,d}というように
部分でも並んでいればこの記号で短縮します。
さて、nを自然数とするとき
{[1○(n+2)]}×{1,2,1}={1,3,[4○n],3,1}
と表記できます。
さらに、121=11×11=11^2(^はべき乗という意味)なので、
{1,2,1}は{1,1}^2と書け、さらに{[1○2]}^2とも書けるので
{[1○(n+2)]}×{[1○2]}^2={1,3,[4○n],3,1}
と書けます。
mを自然数とするとき
レピュニット数に11^m(つまり{[1○2]}^m)をかけたものを順に確かめていくと
{[1○(n+3)]}×{[1○2]}^3={1,4,7,[8○n],7,4,1}
{[1○(n+4)]}×{[1○2]}^4={1,5,11,15,[16○n],15,11,5,1}
{[1○(n+5)]}×{[1○2]}^5={1,6,16,26,31,[32○n],31,26,16,6,1}
となるようです。
{[1○(n+m)]}に{[1○2]}^m をかけると、両端からm個内側には2^mがn個並ぶみたいですね！
{[1○2]}^mの次に{[1○3]}^mを考えてみると
{[1○(n+2)]}×{[1○3]}^1={1,2,[3○n],2,1}
{[1○(n+4)]}×{[1○3]}^2={1,3,6,8,[9○n],8,6,3,1}
{[1○(n+6)]}×{[1○3]}^3={1,4,10,17,23,26,[27○n],26,23,17,10,4,1}
{[1○(n+8)]}×{[1○3]}^4={1,5,15,31,50,66,76,80,[81○n],80,76,66,50,31,15,5,1}
となり
{[1○(n+2m)]}に{[1○3]}^m をかけると、両端から2m個内側に3^mがn個並ぶようです。
kを自然数として一般に{[1○k]}^mを考えた場合
{[1○(n+(k-1)m)]}に{[1○k]}^m をかけると、
両端から(k-1)m個内側にk^mがn個並ぶんじゃないかと思います。
なんだか、ゾロ目を見る目が変わってきますね！
以上です！ お読みいただきありがとうございました！
