以前の記事『位数がべき乗の乗法巡回群』で書いた巡回群が、体になることに気付きました。
「位数がべき乗の乗法巡回群」で書いた予想は、
mod p^n （pは奇素数、nは正の整数）において、pm＋1（mは整数）の形で表せる数の集合は、掛け算に関して位数p^(n-1)の巡回群になるだろう
また、 p^2×k＋1（kは整数）の形で表せない数が生成元になるだろう
というものでした。
mod p^2 の場合では、
A＝pa＋1,B＝pb＋1とすると、
A×B＝(pa＋1)(pb＋1)＝p^2(ab)＋p(a＋b)＋1＝p(a＋b)＋1 (mod p^2)
となり、a,b に注目すれば足し算になっているので、
mod p の｛0,1,2,……,p-1｝ の足し算の群と同型になり、巡回群だと分かります。
演算◎を
(pa＋1)◎(pb＋1)＝pab＋1
と定義すると、
mod p^2 におけるpm＋1（mは整数）の形で表せる数の集合は
通常の掛け算×を加法、◎を乗法とする体になります。
証明します。
体であることを証明するには、
①加法に関して可換群であること
②乗法に関して加法の単位元を除けば可換群であること
③分配法則が成立していること
を示せば良いです。
①は、×に関して巡回群になることを先ほど証明したので、示せています。
②を示します。
加法の単位元 1＝p×0＋1 を除いた pj＋1 の形で表せる数の集合での、
(pa＋1)◎(pb＋1)＝pab＋1 という演算◎は、
a,bに注目すると、 mod p での 0 を除いた整数についての掛け算と同じです。
mod p で 0 を除いた整数は掛け算に関して可換群なので、②が示せました。
③を示します。
A＝pa＋1,B＝pb＋1,C＝pc＋1 とするとき
A◎(B×C)＝(A◎B)×(A◎C) (mod p^2)
を示せば、分配法則が示せます。
（◎に関して可換だと分かっているので、順番を変えた(B×C)◎A＝(B◎A)×(C◎A)も成立するかを確かめる必要はありません。）
A◎(B×C)＝(pa＋1)◎(pb＋1)(pc＋1)
＝(pa＋1)◎(p(b＋c)＋1)
＝pa(b＋c)＋1
＝p(ab＋ac)＋1
＝(pab＋1)×(pac＋1)
＝( (pa＋1)◎(pb＋1) )×( (pa＋1)◎(pc＋1) )
＝(A◎B)×(A◎C) (mod p^2)
なので、分配法則が成立し③が示せ、体だと証明できました。
mod p^2 では×と◎で体になりましたが、
mod p^n （nは3以上の整数）のときは、 ×と◎では体になりません。
◎はmod p^(n-1)における整数の掛け算と同型で、
mod p^h（hは2以上の整数）において 0 を除く整数の集合は、掛け算に関して群にならないからです。
（pと互いに素な整数の集合であれば、群になります。）
mod p^2 に限った体ではありますが、
通常の掛け算×を加法とする体が存在することが面白いなと思いました。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
