前回の記事『パスカルの三角形を筒状に丸める』の続きです
この記事では前回の後半に書いた
「筒状に丸めたパスカルの三角形において、n＋1行目のq個の数の2乗和は2n＋1行目の中央の数になる」
という予想の、一般化したものを証明します。
（前回の内容を踏まえているので、前回を読んだほうが分かりやすい記事になっています。）
どんな一般化かというと
f(x)を係数が左右対称なxの多項式（回文多項式と言うそうです）として、
予想の「パスカルの三角形」の部分を、 「k＋1行目にf(x)^kの係数を並べた三角形」にしたものです。
まず最初に、筒状に丸めていない場合を証明します。
f(x)^n＝[0]＋[1]x＋[2]x^2＋……＋[t]x^t
というように、f(x)^nをt次式とし、x^sの係数を[s]とします。
（f(x)^nを式の形にするため、t や [ ] を適当に置きました）
回文多項式同士の積は回文多項式になるので、回文多項式f(x)をn回掛けたf(x)^nも回文多項式になります。
なので、 [s]＝[t－s] となっています。
2n＋1行目はf(x)^2nの係数を並べたものなので
2n＋1行目の中央の数は f(x)^2n＝(f(x)^n)^2 のx^tの係数です。
f(x)^n＝[0]＋[1]x＋[2]x^2＋……＋[t]x^t
なので
f(x)^2nのx^tの係数＝[0]×[t]＋[1]×[t－1]＋[2]×[t－2]＋……＋[t]×[0]
です。f(x)^nが回文多項式であることから
[0]＝[t],[1]＝[t－1],[2]＝[t－2],[3]＝[t－3],……
なので
f(x)^2nのx^tの係数＝[0]^2＋[1]^2＋[2]^2＋……＋[t]^2
となり、2n＋1行目の中央の数が n＋1行目の数の2乗和になることを証明できました。
では筒状に丸めた場合を証明します。
前回の記事と同様に、
k＋1行目に f(x)^k の係数を並べた三角形の、
「左からm番目の数が左端の数と同じ場所に来るとき」の丸め方を「q＝m－1のとき」と書くことにします。
q＝m－1のときとはつまり、x^(m－1)＝1として f(x) をm－2次以下の式にしたときの係数を取り出したものです。
また、この記事では
筒状に丸めた f(x)^k を f〔x〕^k、
筒状に丸める前の f(x)^k をそのまま f(x)^k と、区別して書くことにします。
t＜q と q≦t で場合分けします。（tはf(x)^n の次数です）
t＜qのとき
f(x)^n が元々 q－1 次以下の式なので、
f(x)^n と f〔x〕^n の係数は同じになり、
f〔x〕^n の係数の2乗和は f(x)^2n のx^tの係数と等しくなります。
f(x)^2n は2t次の式で、
t＋q次以上の係数が0なので、x^q＝1であってもx^tの係数は影響を受けず、
f〔x〕^2nとf(x)^2nのx^tの係数は等しくなり、f〔x〕^n の係数の2乗和とも等しくなることが分かります。
よって、t＜qのときは成立すると示せました。
では、q≦t のときを考えます。
x^q＝1なので、
f〔x〕^2nの中央の数は、f(x)^2nの…t－2q,t－q,t,t＋q,t＋2q…次の係数の和になります。
また、f(x)^2nが回文多項式で、t－s次とt＋s次の係数が等しいことを考えると、
f〔x〕^2nの中央の数は、f(x)^2nの …t－3q,t－2q,t－q次の係数の和の2倍に、t次の係数を足したものになります。
f(x)^2n＝(f(x)^n)^2＝([0]＋[1]x＋[2]x^2＋……＋[t]x^t)^2
なので、f(x)^2nのs次の係数は
[0][s]＋[1][s－1]＋[2][s－2]＋……＋[s][0]
と等しいです。
【s】＝[s]＋[s＋q]＋[s＋2q]＋[s＋3q]＋……
とおくと、
f〔x〕^n ＝【0】＋【1】x＋【2】x^2＋……＋【q－1】x^(q－1)
となり、f〔x〕^n の係数の2乗和は
【0】^2＋【1】^2＋【2】^2＋……＋【q－1】^2
＝([0]^2＋[1]^2＋[2]^2＋……＋[t]^2) ＋ 2(<0>＋<1>＋<2>＋……＋<q－1>)
となります。
（<s>は [s],[s＋q],[s＋2q],[s＋3q],…… から異なるもの2つを選んで掛けたものの総和です。つまり、
<s>＝([s][s＋q]＋[s][s＋2q]＋[s][s＋3q]＋…) ＋ ([s＋q][s＋2q]＋[s＋q][s＋3q]＋…) ＋ ([s＋2q][s＋3q]＋[s＋2q][s＋4q]＋…) ＋ ……
ということです。）
筒状に丸めていない場合で見たように、 [0]^2＋[1]^2＋[2]^2＋……＋[t]^2 は f(x)^2n のt次の係数と等しくなるので、
<0>＋<1>＋<2>＋……＋<q－1> が f(x)^2n の…t－3q,t－2q,t－q次の係数の和と等しいことを示せば、証明できます。
f(x)^2n の t－uq次の係数は
[0][t－uq]＋[1][t－uq－1]＋[2][t－uq－2]＋……＋[t－uq][0]
ですが、 [s]＝[t－s]なので
[0][uq]＋[1][uq＋1]＋[2][uq＋2]＋……＋[t－uq][t]
となります。
0≦a＜b≦t, aとbの差をuqとすると、
[a][b]は [0][uq],[1][uq＋1],[2][uq＋2],……,[t－uq][t] に含まれています。
なので f(x)^2n の …t－3q,t－2q,t－q次の係数の和は、
差がq,2q,3q,…となるようなaとbの、すべての[a][b]の和と等しくなります。
よって <0>＋<1>＋<2>＋……＋<q－1> が f(x)^2n の …t－3q,t－2q,t－q次の係数の和と等しいことが示せ、証明が終わりました。
もっとシンプルな証明がありそうにも思いますが、証明できてよかったです。
お読みいただきありがとうございました！
