パスカルの三角形の中央の数

パスカルの三角形の各行にある計算をすると、その行より下の行の中央の数が表れるらしいことに気付きました。

１

１１

１２１

１３ ３ １

１ ４ ６ ４ １

１ ５  10   10  ５ １

1   6  15  20  15  6  1

1  7  21  35  35  21  7  1

1  8  28  56  70  56  28  8  1

1  9  36  84  126 126  84  36  9  1

計算方法は、n行目のそれぞれの数に、その真下のn+2行目の数を掛け、足し合わせるというものです　2n+1行目の中央の数が表れるようです

実際に計算してみると

１行目は1×2＝2

２行目は1×3＋1×3＝6

３行目は1×4＋2×6＋1×4＝20

４行目は1×5＋3×10＋3×10＋1×5＝70

となり、確かに小さい数の場合は成立しています。

また、n+2行目でなくとも真下でさえあれば同じ計算で中央の数が表れるようです

例えば３行目に７行目の数を掛けると

1×15＋2×20＋1×15＝70 となります

拡張して、「11からはじまる数学」（松田修　津山工業高等専門学校 数学クラブ著）という本にある、3-パスカル三角形などでも成立していそうです。

以上です　お読みいただきありがとうございました！

パスカルの三角形の中のカタラン数

パスカルの三角形にある計算をすると、カタラン数が表れるらしいことに気付きました。

カタラン数は、小さい順に並べると

1,1,2,5,14,42,132,……

という数たちです。詳しくは検索してみて下さい

１

１１

１２１

１３ ３ １

１ ４ ６ ４ １

１ ５  10   10  ５ １

1   6  15  20  15  6  1

1  7  21  35  35  21  7  1

1  8  28  56  70  56  28  8  1

1  9  36  84  126 126  84  36  9  1

というパスカルの三角形の各行の数に、右斜め下にある数を掛けて、その掛けた数たちを足し合わせます

１行目は1×1＝1

２行目は1×2＋1×1＝3

３行目は1×3＋2×3＋1×1＝10

４行目は1×4＋3×6＋3×4＋1×1＝35

５行目は1×5＋4×10＋6×10＋4×5＋1×1＝126

６行目は1×6＋5×15＋10×20＋10×15＋5×6＋1×1＝462

７行目は1×7＋6×21＋15×35＋20×35＋15×21＋6×7＋1×1＝1716

となり、表れたn行目の数を(2n-1)で割る（例えば４行目なら2×4－1＝7で割る）と

1,1,2,5,14,42,132

となり、カタラン数が表れました。

証明はできていません。証明できた方や証明を知っている方いたら、教えて頂けると嬉しいです

お読みいただきありがとうございました！

縦読み

(x+1)^0,(x+1)^1,(x+1)^2,(x+1)^3,………を並べると、

1

x     +1

x^2 +2x        +1

x^3 +3x^2    +3x        +1

x^4 +4x^3    +6x^2    +4x +1

………

となります。

この図の一番左の項たちを縦に読むと、

1+x+x^2+x^3+x^4+……

となり、左から二番目の項たちを同様に読むと、

1+2x+3x^2+4x^3+……

左から三番目の項たちは、

1+3x+6x^2+……

となります。

ここで面白いことが言えます。

#=1+x+x^2+x^3+x^4+…… と#を定義すると、

左からn番目の項を縦に読んだものは#^nと等しくなります。

♪=x+1 と♪を定義すると、m行目を♪^(m-1)と表せることも含めて考えると、

この図では、m行目は♪^(m-1)に、n列目は#^nに等しくなっていることが分かります。

微分を考えても面白いです。

(m+1)行目を微分するとm行目のm倍が現れ、

n列目を微分すると(n+1)列目のn倍が現れます。

つまり、微分を'で表すことにすると、

(♪^m)'=m×♪^(m-1)

(#^n)'=n×#^(n+1)

となっているということです。

面白いなぁと感じます。

以上です！　お読みいただきありがとうございました！

整数三角形の親子関係・友達関係をちょっと拡張

mizumiya-umi.hatenablog.com

で書いたように、

整数a,b,cがa^2+ab+b^2=c^2 を満たし、sを s=3/2×(a+b)-c と定義すると、

(a-s)^2+(a-s)(b-s)+(b-s)^2=(c-s)^2

と

a^2+a(-a-b)+(-a-b)^2=c^2

が成り立つのでした。

これを一般化して、

nを整数とするとき、a^2+ab+b^2+n=c^2 ,s=3/2×(a+b)-cとすると、

(a-s)^2+(a-s)(b-s)+(b-s)^2+n=(c-s)^2

と

a^2+a(-a-b)+(-a-b)^2+n=c^2

が成立していることに気付きました。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

n次式と数列上の積

前回の記事、

mizumiya-umi.hatenablog.com

の続きです。

前回同様、#という記号を

#={1,1,1,1,……}

という数列だと定義します。

関数f(x)に対して、数列[f(x)]を

[f(x)]={f(0),f(1),f(2),f(3),……}

と定義します。

f(x)がn次式のとき、[f(x)]をどのような数列の積で表せるかを見ていきます。

f(x)が1次式のとき。

f(x)=ax+bとおくと、

[f(x)]=#^2×{b,a-b}

となっているようです。

f(x)=ax^2+bx+c、つまりf(x)が2次式のときは

[f(x)]=#^3×{c,a+b-2c,a-b+c}

というように、

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d、つまりf(x)が3次式のときは

[f(x)]=#^4×{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}

というようになっているようです。

ここで右辺に現れた有限の長さの数列に、規則がありそうなことに気付きました。

すべての項の和をとると、aの倍数になりそうなのです。

{b,a-b}→b+(a-b)=a

{c,a+b-2c,a-b+c}→c+(a+b-2c)+(a-b+c)=2a

{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}→d+(a+b+c-3d)+(4a-2c+3d)+(a-b+c-d)=6a

また、a以外の文字の係数の絶対値は、パスカルの三角形に現れる数になっているようです。

実際に{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}の、dの係数の絶対値を並べてみると、

1,3,3,1

と、パスカルの三角形の4行目が表れました。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

数列の環とn乗数

前回の記事、

mizumiya-umi.hatenablog.com

の続きです。

無限に続く数列の積を見ていきましょう。

{1,1,1,1,……}と、1が延々と続いていく数列を、#という記号で表すことにします。

#={1,1,1,1,……}

としたということです。

#^2、つまり#と#の積は、

{1,2,3,4,……}

という自然数の数列になります。

#^3、つまり#の3乗は、

{1,3,6,10,……}

という、三角数の数列になります。

#^4は三角錐数の数列になります。

さて、

{1^n,2^n,3^n,4^n,……}

というような、n乗数を並べた数列を、簡単な数列の積で表せそうなことに気付きました。

まず、上に書いたように、

{1,2,3,4,……}=#^2

となっています。

{1}という数列が乗法の単位元になるので、

{1,2,3,4,……}=#^2×{1}

とも書けます。

2乗数を並べた数列、{1,4,9,16,……}は、

{1,4,9,16,……}=#^3×{1,1}

というように、

3乗数を並べた数列、{1,8,27,64,……}は、

{1,8,27,64,……}=#^4×{1,4,1}

というように、

4乗数を並べた数列、{1,16,81,256,……}は、

{1,16,81,256,……}=#^5×{1,11,11,1}

というように、

5乗数を並べた数列、{1,32,243,1024,……}は、

{1,32,243,1024,……}=#^6×{1,26,66,26,1}

というようになっているようです。

一般に、n乗数を並べた数列は#^(n+1)と有限の長さの数列の積で表せるだろうと予想しています。

また、このようにして現れた有限の長さの数列の項の和が、階乗になっているようなのです。

{1}→1=1!

{1,1}→1+1=2=2×1=2!

{1,4,1}→1+4+1=6=3×2×1=3!

{1,11,11,1}→1+11+11+1=24=4×3×2×1=4!

{1,26,66,26,1}→1+26+66+26+1=120=5×4×3×2×1=5!

面白いなぁと思います。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

数列の環

この記事では、項数が有限の数列を、そのあとに0という数の入った項が無限に続く数列と見なして扱うことにします。

nを自然数、a[n],b[n]を整数とします。

さて、

{a[1],a[2],a[3],a[4],……}という無限に続く数列と、

{b[1],b[2],b[3],b[4],……}という無限に続く数列の和を、

{a[1]+b[1],  a[2]+b[2],  a[3]+b[3],  a[4]+b[4],……}と定義し、

積を、

{a[1]b[1],  a[1]b[2]+a[2]b[1],  a[1]b[3]+a[2]b[2]+a[3]b[1],  a[1]b[4]+a[2]b[3]+a[3]b[2]+a[4]b[1],……}

と定義するとき

整数を項に持つ数列の集合は可換環になるようです。

環というものは、和と積が定義されているとき、A(B+C)=AB+ACというように分配法則を満たしているものです。（他にも環になるための条件はあります） 

今回定義した数列同士の積について少し書きます。

{2,1}という数列と{3,4}という数列の積は、3項目以降を0とみなすことも踏まえて考えると

{2,1}×{3,4}={2×3,2×4+1×3,2×0+1×4+0×3}

={6,11,4}

となります。

この計算は、21×34=714という数の積とも対応しています。

{6,11,4}の1項目を100倍、2項目を10倍、3項目を1倍して和をとると、714、つまり21×34になるのです。

6×100+11×10+4×1=714

一般にこのようなことが成り立っているだろうと予想しています。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

和が0の行列の体

aを実数とする。

( a -a)
(-a  a)

という形で表せるすべての二次正方行列の集合は、通常の(行列の)加法と乗法に関して体になるらしいことに気付きました。

この体の乗法の単位元は、

( 1/2 -1/2)
(-1/2  1/2)

です。

一般のn次正方行列でも同様のことが言えるようです。

3次正方行列の場合を書きます。

a,b,cを実数とし、a+b+c=0となっているとする。

(a b c)
(c a b)
(b c a)

の形で表せるすべての3次正方行列の集合は、通常の加法と乗法に関しての体になっているようです。

この体の乗法の単位元は、

( 2/3 -1/3  -1/3)
(-1/3  2/3  -1/3)
(-1/3 -1/3  2/3)

のようです。

また、この体も前回の「和が1の行列の体　その２」で書いたこととほとんど同様に、mod pで考えることができます。

以上です。有名な事実なのかもしれませんが、面白いなぁと思いました。

お読みいただきありがとうございました！

和が1の行列の体 その２

前回の記事、

mizumiya-umi.hatenablog.com

では二次正方行列を考えましたが、これをn次正方行列に一般化できるらしいことに気付きました。

まず3次正方行列を見ていきます。

a,b,c,x,y,zを実数とし、a+b+c=1,x+y+z=1となっているとします。

(a b c)
(c a b)
(b c a)

という形で表せるすべての行列の集合は、通常の乗法に関して可換群になっています。

また、

s,t,uを

s=a+x-1/3

t=b+y-1/3

u=c+z-1/3

とし、

(a b c)
(c a b)
(b c a)

と、

(x y z)
(z x y)
(y z x)

の和を、

(s t u)
(u s t)
(t u s)

と定義すると、この加法に関して上記の集合は可換群になります。

この加法と乗法は分配法則を満たし、この集合は体になります。

一般のn次正方行列でも同様です。

素数を法とするときを考えるのも面白いです。

pをnと互いに素な素数とします。

mod pにおいて、n次正方行列の上記のような集合は、上記のような加法と乗法に関して、位数p^(n-1)の体になるようなのです。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

和が1の行列の体

a,bを実数とする。

(   a    1-a)
(1-a       a)

の形で書けるすべての二次正方行列の集合は、乗法に関して可換群になります。

また、この集合において、

(   a    1-a)
(1-a       a)

と

(   b    1-b)
(1-b       b)

の和を、

( a+b-1/2    -a-b+3/2)
(-a-b+3/2     a+b-1/2)

と定義すると、加法に関しても可換群になります。

この加法と行列の掛け算は分配法則を満たし、体になります。

ちなみに、この加法の単位元は

(1/2  1/2)
(1/2  1/2)

です。

以上です！お読みいただきありがとうございました！