前回の記事、
の続きです。
前回同様、#という記号を
#={1,1,1,1,……}
という数列だと定義します。
関数f(x)に対して、数列[f(x)]を
[f(x)]={f(0),f(1),f(2),f(3),……}
と定義します。
f(x)がn次式のとき、[f(x)]をどのような数列の積で表せるかを見ていきます。
f(x)が1次式のとき。
f(x)=ax+bとおくと、
[f(x)]=#^2×{b,a-b}
となっているようです。
f(x)=ax^2+bx+c、つまりf(x)が2次式のときは
[f(x)]=#^3×{c,a+b-2c,a-b+c}
というように、
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d、つまりf(x)が3次式のときは
[f(x)]=#^4×{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}
というようになっているようです。
ここで右辺に現れた有限の長さの数列に、規則がありそうなことに気付きました。
すべての項の和をとると、aの倍数になりそうなのです。
{b,a-b}→b+(a-b)=a
{c,a+b-2c,a-b+c}→c+(a+b-2c)+(a-b+c)=2a
{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}→d+(a+b+c-3d)+(4a-2c+3d)+(a-b+c-d)=6a
また、a以外の文字の係数の絶対値は、パスカルの三角形に現れる数になっているようです。
実際に{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}の、dの係数の絶対値を並べてみると、
1,3,3,1
と、パスカルの三角形の4行目が表れました。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
