明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形の中央の数

パスカルの三角形の各行にある計算をすると、その行より下の行の中央の数が表れるらしいことに気付きました。

 

11
121
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5  10   10  5 1
1   6  15  20  15  6  1
1  7  21  35  35  21  7  1
1  8  28  56  70  56  28  8  1
1  9  36  84  126 126  84  36  9  1

 

計算方法は、n行目のそれぞれの数に、その真下のn+2行目の数を掛け、足し合わせるというものです 2n+1行目の中央の数が表れるようです

 

実際に計算してみると

1行目は1×2=2

2行目は1×3+1×3=6

3行目は1×4+2×6+1×4=20

4行目は1×5+3×10+3×10+1×5=70

となり、確かに小さい数の場合は成立しています。

 

また、n+2行目でなくとも真下でさえあれば同じ計算で中央の数が表れるようです

例えば3行目に7行目の数を掛けると

1×15+2×20+1×15=70 となります

 

拡張して、「11からはじまる数学」(松田修 津山工業高等専門学校 数学クラブ著)という本にある、3-パスカル三角形などでも成立していそうです。

 

以上です お読みいただきありがとうございました!