前回の記事、
の続きです。
無限に続く数列の積を見ていきましょう。
{1,1,1,1,……}と、1が延々と続いていく数列を、#という記号で表すことにします。
#={1,1,1,1,……}
としたということです。
#^2、つまり#と#の積は、
{1,2,3,4,……}
という自然数の数列になります。
#^3、つまり#の3乗は、
{1,3,6,10,……}
という、三角数の数列になります。
#^4は三角錐数の数列になります。
さて、
{1^n,2^n,3^n,4^n,……}
というような、n乗数を並べた数列を、簡単な数列の積で表せそうなことに気付きました。
まず、上に書いたように、
{1,2,3,4,……}=#^2
となっています。
{1}という数列が乗法の単位元になるので、
{1,2,3,4,……}=#^2×{1}
とも書けます。
2乗数を並べた数列、{1,4,9,16,……}は、
{1,4,9,16,……}=#^3×{1,1}
というように、
3乗数を並べた数列、{1,8,27,64,……}は、
{1,8,27,64,……}=#^4×{1,4,1}
というように、
4乗数を並べた数列、{1,16,81,256,……}は、
{1,16,81,256,……}=#^5×{1,11,11,1}
というように、
5乗数を並べた数列、{1,32,243,1024,……}は、
{1,32,243,1024,……}=#^6×{1,26,66,26,1}
というようになっているようです。
一般に、n乗数を並べた数列は#^(n+1)と有限の長さの数列の積で表せるだろうと予想しています。
また、このようにして現れた有限の長さの数列の項の和が、階乗になっているようなのです。
{1}→1=1!
{1,1}→1+1=2=2×1=2!
{1,4,1}→1+4+1=6=3×2×1=3!
{1,11,11,1}→1+11+11+1=24=4×3×2×1=4!
{1,26,66,26,1}→1+26+66+26+1=120=5×4×3×2×1=5!
面白いなぁと思います。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
