松田修、津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」
細矢治夫著「トポロジカル・インデックス(日本評論社)」
を参考にさせていただきました
まず、通常のフィボナッチ数列とパスカルの三角形の対応について書きます
フィボナッチ数列とは
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377……
と続いていく、前の二つの数を足して次の数を作る数列のことでした
nを整数とするとき
f(n)＋f(n＋1)＝f(n＋2)であり且つf(1)＝f(2)＝1である数列f(n)と言うこともできます
パスカルの三角形とは
というように数を三角形状に延々と並べたものです
並べ方の規則は、
と数が並んでいるとき、C＝A＋Bになるようにするというだけです 要は上にある二つの数の和が下の数になります
パスカルの三角形を通る、左下から右上へ向かう直線の上にある数の総和をとっていくとフィボナッチ数列が表れます
実際に、
f(1)＝１
f(2)＝１
f(3)＝１＋１＝２
f(4)＝１＋２＝３
f(5)＝１＋３＋１＝５
f(6)＝１＋４＋３＝８
となり、１，１，２，３，５，８とフィボナッチ数列が表れます
では、一般のk-フィボナッチ数列の話を始めます
k-フィボナッチ数列とは、前のk個の数を足して次の数を作る数列です
初期値は
f(－k＋2)＝f(－k＋3)＝……＝f(－1)＝f(0)＝0
f(1)＝1
とします
まず、3-フィボナッチ数列から
3-フィボナッチ数列を具体的に書くと
1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,……
となります
と数が並んでいたときD＝A＋B＋Cとなっているようなパスカルの三角形と、3-フィボナッチ数列が対応しています
実際にこのようなパスカルの三角形を書くと
となり、フィボナッチ数列のときのように斜めに数を足すと、3フィボナッチ数列が表れることが分かります
ちなみに、このパスカルの三角形の行ごとの和を出すと、
1,2,5,12,29,70,169
となり、g(n)+2g(n+1)=g(n+2)になっています。
１行上から２つ数を足したのでg(n+1)の係数が２となり、２行上から１つ数を足したのでg(n)の係数が１になっているのです
ここまでは、参考文献から参考にさせてもらったもので、僕が思いついたことではありません
ここから先は、上の行の三つの数を足して次の数を作る、という発想を除き、僕の考えたことです
4-フィボナッチ数列は、
となっているとき、E＝A＋B＋C＋Dとなるようなパスカルの三角形と対応しています
このパスカルの三角形の行ごとの和を出すと、
g(n)+3g(n+1)=g(n+2)となっていて
１行上から３つ数を足したのでg(n+1)の係数が３、２行上から１つ数を足したのでg(n)の係数が１になっています
5-フィボナッチ数列は、
となっているとき、A＋B＋C＋D＋E＝Fとなるようなパスカルの三角形と対応しています
このようなパスカルの三角形です
このパスカルの三角形の行ごとの和を出すと、
2g(n)+g(n+1)+2g(n+2)=g(n+3)となっていて
１行上から２つ数を足したのでg(n+2)の係数が２、２行上から１つ数を足したのでg(n+1)の係数が１、３行上から２つ数を足したのでg(n)の係数は２になっています
最後に、具体的には書きませんが
6-フィボナッチ数列は、
となっているとき、A＋B＋C＋D＋E＋F＝Gとなるようなパスカルの三角形と対応しています
以上です。なにか間違っているところなどあれば、是非教えて下さい
