行列式を変えない操作

↓この記事の続きです。

mizumiya-umi.hatenablog.com

↑に貼った記事では、右！操作、左！操作というものを考えましたが、上！操作、下！操作というものもできることに気付きました。

要領は右！操作、左！操作のときと同じで、

(a b)
(c d)

という行列を、

(a+c b+d)
(c     d    )

という行列に変える操作を上！操作、

(a b)
(c d)

という行列を、

(a     b    )
(a+c b+d)

という行列に変える操作を下！操作と呼ぶことにしたというだけです。

右！操作、左！操作、上！操作、下！操作、いずれも行列式を変えません。

さて、

X！操作を右！操作、左！操作、上！操作、下！操作を任意の回数合成したものとし、

X！操作のなかの上！操作、下！操作を順番を変えずに取り出したものをY！操作、

X！操作のなかの右！操作、左！操作を順番を変えずに取り出したものをZ！操作とするとき、

任意の二次正方行列AにX！操作をするとBという行列になり、

単位行列にY！操作をするとJという行列に、単位行列にZ！操作をするとKという行列になるならば、

J×A×K=B

となっているだろうと予想しました。

具体例を挙げます。

X！操作を上！右！上！左！左！操作とし、

行列Aを

(1  2)
(-1 4)

とします。

AにX！操作をしてできる行列Bは、

(17  9)
(5    3)

という行列です。

定義より、

Y！操作は上！上！操作、

Z！操作は右！左！左！操作なので、

行列Jは、

(1 2)
(0 1)

という行列に、

行列Kは

(3 1)
(2 1)

という行列になります。

このとき、

J×A×K=Bという式、つまり、

(1 2)(1  2)(3 1)      (17 9)
(0 1)(-1 4)(2 1) =   (5   3)

という式は確かに成立しています。

以上です！かなり面白いなぁと思います。みなさんはどう思いますか？

お読みいただきありがとうございました！

ファレイ数列の行列の性質

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。

mizumiya-umi.hatenablog.com

二次正方行列を

(a c)
(b d)

というように書くことにする。

a,b,dを自然数、cを0以上の整数、a≦b、c＜d、ad-bc=1とするとき、

a/bとc/dはいずれかのファレイ数列で隣り合っています。

(a c)
(b d)

を、ファレイ行列と呼ぶことにします。

ファレイ数列についてはwikiを見て下さい↓ 

ファレイ数列 - Wikipedia

さて、ここからが書きたかったことです。

二次正方行列の1行1列目の値を1行2列目に足し、

2行1列目の値を2行2列目に足す操作を右！操作と呼ぶことに、

1行2列目の値を1行1列目に足し、

2行2列目の値を2行1列目に足す操作を左！操作と呼ぶことにします。

(a c)
(b d)

に右！操作をすると、

(a a+c)
(b b+d)
となり、この行列に更に左！操作をすると、

(2a+c a+c)
(2b+d b+d)
となります。またこのふたつの操作を合成して、

(a c)
(b d)

に右！左！操作をすると

(2a+c a+c)
(2b+d b+d)

ができる、と書くことにします。

 ファレイ行列に右！操作をしても、左！操作をしてもファレイ行列のままです。

 さて、X！操作を、任意の右！操作と左！操作を合成した操作とします。

(1 0)
(0 1)
という単位行列にX！操作をすると

(a c)
(b d)

というファレイ行列になるとき、

(a c)(a c)
(b d)(b d)

というふたつの同じファレイ行列の積は、

(a c)
(b d)
にX！操作をしたものと等しくなるだろうと予想しました。

例をみてみましょう。

(2 1)
(3 2)

というファレイ行列は、単位行列に左！右！左！操作をすると得られます。

(2 1)(2 1)
(3 2)(3 2)

は、

(7    4)
(12  7)

という行列になりますが、これは、

(2 1)
(3 2)

に左！右！左！操作をすることでも得られます。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

mod pにおける行列の体と無理数による体をフィボナッチでつなげる

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。

mizumiya-umi.hatenablog.com

二次正方行列を

(x y)
(z w)

というように書くことにします。

pを素数とします。

mod pにおいて、

aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]の、一番長いループの長さと、

(0 1)
(a b)の位数の長さが一致するようです。

なぜなら、

(0 1)             (0 1)^k
(a b)のk乗を(a b)     と書くことにし、

(x)
(y)を縦ベクトルとするとき、

(0 1)^k   (F[n]    )   (F[n+k]   )
(a b)   ×(F[n+1])=(F[n+k+1])

となっていて、

(F[n]    )     (F[n+k]   )

(F[n+1]) = (F[n+k+1])

 つまり、F[n]=F[n+k],F[n+1]=F[n+k+1]となるのは、F[n]のループの長さの値なので、

kがF[n]のループの長さの値になるとき、

(0 1)^k
(a b)   が単位行列になることが分かり、

aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]を満たすF[n]の、一番長いループの長さと

(0 1)
(a b)の位数の長さが一致することが分かりました。

さて、上に貼った記事に書いたように、

aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]のループの長さと、

a+bx=x^2を満たすxの位数が一致すると前に予想しました。

この予想と、今回言ったことを合わせて考えて、

a+bx=x^2を満たすxの位数と、

(0 1)
(a b)の位数の長さが一致するのではないかと思いました。(ただしa≠0)

a+bx=x^2を満たすxの位数がp^2-1のとき、xを生成元とする乗法群に0を加えた集合が体になるのと、

(0 1)                                     
(a b)の位数がp^2-1になるとき、

(0 1)                                     
(a b)を生成元とする乗法群に零行列を加えた集合が体になることが対応しているのではないかと思いました。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

パスカルの三角形の行列とフィボナッチ

二次正方行列を

(a b)
(c d)

というように書くことにします。三次以上の行列も同様に書くことにします。

(0 1)
(1 1)

や、

(0 0 1)
(0 1 1)
(1 2 1)

や、

(0 0 0 1)
(0 0 1 1)
(0 1 2 1)
(1 3 3 1)
というような、パスカルの三角形のような数の並びをもつ正方行列と、フィボナッチ数列につながりがあることに気付きました。

F[n]を、

F[0]=0,F[1]=1,F[n]+F[n+1]=F[n+2]

と定義します。要するにF[n]はフィボナッチ数列です。

縦ベクトル

(F[n]    )
(F[n+1])

と、パスカルの三角形の二次正方行列の積をとると、

(0 1)   (F[n]    )   (F[n+1]         )    (F[n+1])
(1 1)×(F[n+1])=(F[n]+F[n+1])= (F[n+2])

となるのです。

(0 1)　　　   (0 1)^k
(1 1)のk 乗を(1 1)   と書くことにすると、

(0 1)^k     (F[n]    )    (F[n+k]    )
(1 1)     ×(F[n+1])= (F[n+k+1])

となります。

パスカルの三角形の3次正方行列でも同様に、

(0 0 1)   (F[n]    )   (F[n+2])
(0 1 1)   (F[n+1])   (F[n+3])
(1 2 1)×(F[n+2])=(F[n+4])

となっています。

一般に、パスカルの三角形のm次正方行列でも同様のことが言えるだろうと思っています。

このように言えることと、パスカルの三角形の数を斜めに足していったらフィボナッチ数が表れる(このことについては下の記事を見て下さい)ことに、つながりがあるように思えます。

mizumiya-umi.hatenablog.com

これを一般化して、

パスカルの三角形のように数を並べたもので、数を斜めに足していったら

G[0]=0,G[1]=1,aG[n]+bG[n+1]=G[n+2]

という数列が表れるようなものを行列にしたものとG[n]を要素に持つベクトルとの積が、上で言ったような性質を持っているのではないかと思いました。

実際に

１

a   b

a^2 2ab b^2

a^3 3a^2b 3ab^2 b^3

a^4 4a^3b 6a^2b^2 4ab^3 b^4

という三角形から作った行列は、そのような性質を持っているようです。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

mod pにおける行列の体

二次正方行列を

(a b)
(c d)

という形で書くことにする

mod 5において、

(0 0)  (1 3)  (3 4)  (4 2)  (2 1)
(0 0)  (4 2)  (2 1)  (1 3)  (3 4)

という5個の正方行列の集合は、

(0 0)
(0 0)を加法の単位元、

(2 1)
(3 4)を乗法の単位元とする体になることに気付きました。

mod 7の場合でも

(0 0)  (4 1)  (5 3)  (1 2)  (3 6)  (2 4)  (6 5)
(0 0)  (2 4)  (6 5)  (4 1)  (5 3)  (1 2)  (3 6)

という7個の行列の集合が、

(0 0)
(0 0)を加法の単位元、

(4 1)
(2 4)を乗法の単位元とする体になります。

一般化して、aを0,1でない整数とすると、

(1     a    )
(a^2  a^3)

という形で表せる行列を元に持つ体が、どのmod pの場合にもあったらいいなぁと思います。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

フィボナッチと分数

nを自然数とする。

数列F[n]を、

F[0]=0,F[1]=1,F[n-1]+F[n]=F[n+1]

と定義する。つまりF[n]はフィボナッチ数列です。

互いに素な自然数a,bを、

F[n-1]/F[n]+F[n]/F[n+1]=a/b

と定義するとき、

a+b=F[2n+1]

a-b=(F[n-1])^2

となっていると予想しました。

例としてn=3のときを考えると、

F[2]=1,F[3]=2,F[4]=3より、

F[2]/F[3]+F[3]/F[4]=1/2+2/3=7/6

となることから、a=7,b=6が分かり、

a+b=13=F[7]

a-b=1=1^2=(F[2])^2

と、確かにこの例の場合は成り立っていることが分かりました。

また、分母と分子を逆にしたものでも、同様のことが言えるようです。

互いに素な自然数c,dを

F[n]/F[n-1]+F[n+1]/F[n]=c/d

と定義するとき、

c+d=(F[n+1])^2

c-d=F[2n-1]

となっているようなのです。

例としてn=4のときを考えると、

F[3]=2,F[4]=3,F[5]=5より、

F[4]/F[3]+F[5]/F[4]=3/2+5/3=19/6

となることから、c=19,d=6

が分かり、

c+d=25=5^2=(F[5])^2

c-d=13=F[7]

と、確かにこの例の場合は成り立っていることが分かりました。

一般フィボナッチ数列の場合にも似たようなものをひとつだけ見つけました。

j,kを自然数とする

数列G[n]を

G[0]=0,G[1]=1,j×G[n-1]+k×G[n]=G[n+1]

と定義する。

互いに素な自然数e,fを

G[n-1]/G[n]+G[n]/G[n+1]=e/f

と定義するとき、

j×e+k×f=G[2n+1]

となっているようなのです。

j=3,k=2,n=2の場合の例を見ていきます。

このとき、G[1]=1,G[2]=2,G[3]=7,G[4]=20,G[5]=61です。

G[1]/G[2]+G[2]/G[3]=1/2+2/7=11/14

なので、e=11,f=14であることが分かり、

j×e+k×f=3×11+2×14=33+28=61=G[5]

となり、この例の場合では真であることが確かめられました。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

フィボナッチ積と分配法則

a,b,cを自然数とする。

aとbのフィボナッチ積をa〇bと書くことにする。

(a〇(b+c))と(a〇b+a〇c)の差は、0かaかのどちらかに必ずなるのではないかと思いました。

普通の加法とフィボナッチ積の間に、分配法則のようなものが成り立っているのではないかと思ったということです。

また、d,eを自然数、b+c=d+eとするとき、

(a〇b+a〇c)と(a〇d+a〇e)の差も、0かaかのどちらかに必ずなっているのではないかとも思いました。

引き算でも似たようなことが言えそうです。

つまり、bがcより大きいとき、

(a〇(b-c))と(a〇b-a〇c)の差も、0かaかのどちらかになっていそうだということです。

トリボナッチ積でも同じようになっていたらいいな～と思います。また調べてみます。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

フィボナッチ積の性質

九九の表のように、フィボナッチ積の表を七の段まで書いて眺めていたら思いついたことがあるので書きます。

nを自然数とする

n番目のフィボナッチ数をF[n](ただし1=F[2]とする)とする

また、aとbのフィボナッチ積をa〇bと書くことにする。

kを自然数とするとき

F[n]〇(k+1)－F[n]〇k=F[n+1]

あるいは

F[n]〇(k+1)－F[n]〇k=F[n+2]

となっているのかなと思いました。

F[n+1]と等しくなるのかF[n+2]と等しくなるのかには規則がありそうですが、まだ見つけていません。

また、mとnの差が1より大きいとき、

(F[m]+F[n])〇(k+1)－(F[m]+F[n])〇k=F[m+1]+F[n+1]

あるいは

(F[m]+F[n])〇(k+1)－(F[m]+F[n])〇k=F[m+2]+F[n+2]

となっているとも思いました。3つ以上の隣り合わないフィボナッチ数の和でも同様になっているだろうと予想しています。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

トリボナッチ積

フィボナッチ積という概念のトリボナッチ数列版を考えてみました。

mizumiya-umi.hatenablog.com

で書いたように、トリボナッチ数列から3つ以上連続しないように項を選び、和をとることで、すべての自然数を一意的に表せるだろうと予想しました。

この予想をもとにフィボナッチ積のときのようにして演算を定義できるのでは！？と思いました。

いくつか具体例をみてみたところ、トリボナッチ積という演算はフィボナッチ積と同様に結合的になっているようです。

一般のk-フィボナッチ積というものを考えても、結合的になっていたら面白いなぁと思います。

あと、結合的であるということは、半群であるということなので、フィボナッチ積やトリボナッチ積を乗法として、うまくいく加法の演算を考えることで環をつくれるのでは！！と思いましたが代数学全然分からないので間違っているかもしれないです。分かる方いたら教えていただけると泣いて喜びます。

以上です！お読みいただきありがとうございました！

ピタゴラス数の組の集合上の二項演算

a,b,c,d,e,fを

a^2+b^2=c^2

d^2+e^2=f^2

となっているような自然数、つまりピタゴラス数とします。

更に、a,dを奇数、b,eを偶数、c,fを奇数として話を進めます。

実は、

n^2+( (a+d) /2)^2+( (b+e) /2)^2=( (c+f) /2)^2、

(ad+n^2)+(be+n^2)=(cf-n^2)+n^2

となるような整数nが、どんなa,b,c,d,e,fに対しても存在するようなのです。

また、(ad+n^2),(be+n^2),(cf-n^2)はすべて平方数になるようです。

そして、√(A)を二乗するとAになる正の数とすると、

( (a+d) /2+√(ad+n^2) )^2 + ( (b+e) /2+√(be+n^2) )^2 = ( (c+f) /2+√(cf-n^2) )^2、つまり、

(a+d)/2+√(ad+n^2), (b+e)/2+√(be+n^2), (c+f)/2+√(cf-n^2)はピタゴラス数になっているようなのです。

例を見ていきましょう。

(3,4,5)=(a,b,c)と(5,12,13)=(d,e,f)に上で書いたような演算をして新たなピタゴラス数を作ります。

1^2+((3+5)/2)^2+((4+12)/2)^2=((5+13)/2)^2

(3×5+1^2)+(4×12+1^2)=(5×13-1^2)+1^2

なので、

(a+d)/2+√(ad+n^2)=(3+5)/2+√(3×5+1)=8

(b+e)/2+√(be+n^2)=(4+12)/2+√(4×12+1)=15

(c+f)/2+√(cf-n^2)=(5+13)/2+√(5×13-1)=17

となり、新たなピタゴラス数(8,15,17)が得られました。

ピタゴラス数の組全体の集合が、この演算について閉じているはずですが、単位元がなく、結合法則が成り立たないので群にはなりません。

うまいことやって群にできないかなぁと考えています。読んで下さった方も挑戦してくれるととても嬉しいです。

以上です！お読みいただきありがとうございました！