明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形

 松田修津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」

細矢治夫著「トポロジカル・インデックス(日本評論社)」

を参考にさせていただきました

 

まず普通のフィボナッチ数列パスカルの三角形の対応について書きます。

 

フィボナッチ数列とは

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377……

と続いていく、前の二つの数を足して次の数を作る数列のことでしたね

nを整数とするとき

f(n)+f(n+1)=f(n+2)であり且つf(1)=f(2)=1である数列f(n)、と言うこともできます

 

パスカルの三角形とは

 

11
121
1331
14641
15101051

 

というように数を三角形状に延々と並べたものです 並べ方の規則は、

 

A B
C

 と数が並んでいるとき、C=A+Bになるようにする、というだけです 要は上にある二つの数の和が下の数になります

パスカルの三角形を通る、左下から右上へ向かう直線の上にある数の総和をとっていくとフィボナッチ数列が表れます

 実際に、

 

11
121
1331
14641
15101051

 f(1)=

 

121
1331
14641
15101051

 f(2)=

 

 

21
1331
14641
15101051

 f(3)=1+1=

 

 

11
331
14641
15101051

 f(4)=1+2=

11
12
31
4641
15101051

 f(5)=1+3+=

 

11
121
13
641
5101051

 f(6)=1+4+=

 

となって、1,1,2,3,5,8というフィボナッチ数列が表れます

 

 

では、一般のk-フィボナッチ数列の話を 始めます

k-フィボナッチ数列とは、前のk個の数を足して次の数を作る数列です

初期値は、f(-k+2)=f(-k+3)=……=f(-1)=f(0)=0,f(1)=1とします

 

まず、3-フィボナッチ数列から

3-フィボナッチ数列を具体的に書くと

1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,……

となります

 

 

A
B C
D
 

と数が並んでいたときD=A+B+Cとなっているような、パスカルの三角形と3-フィボナッチ数列が対応しています

 

実際にこのようなパスカルの三角形を書くと

 

 

11
131
1551
1 7 13 7 1
1 9 25 25 9 1
1 11 41 63 41 11 1
 

 

となり、フィボナッチ数列のときのように斜めに数を足していくと3フィボナッチ数列が表れることが分かります

ちなみに、このパスカルの三角形の行ごとの和を出すと、

1,2,5,12,29,70,169

となり、g(n)+2g(n+1)=g(n+2)になっています。

上の行から2つ数を足したのでg(n+1)の係数が2となり、上の上の行から1つ数を足したのでg(n)の係数が1になっているのです

 

ここまでは、参考文献から参考にさせてもらったもので、僕が思いついたことではありません

ここから先は、上の行の三つの数を足して次の数を作る、という発想を除き、僕の考えたことです

 

4-フィボナッチ数列は、

 

A
B C D
E
 

となっているときE=A+B+C+Dとなっているようなパスカルの三角形、

 

1 1 1
1 2 4 2 1
1 3 8 9 8 3 1
14 13 21 29 21 13 41
1 5 19 41 69 80 69 41 19 5 1
 

 と対応しています。

このパスカルの三角形の行ごとの和を出すと、g(n)+3g(n+1)=g(n+2)となっていて、3-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形のときと同じような原理で、上の行から3つ数を足したのでg(n+1)の係数が3、上の上の行から1つ数を足したのでg(n)の係数が1になっています。

 

5-フィボナッチ数列

 

 

A B
C
D E
F
 

となっているとき、A+B+C+D+E=Fとなっているようなパスカルの三角形と対応しています。

1 1
1 3 1
1 6 6 1
1 9 17 9 1
1 12 36 36 12 1
1 15 64 101 64 15 1

このようなパスカルの三角形です

このパスカルの三角形の行ごとの和を出すと、2g(n)+g(n+1)+2g(n+2)=g(n+3)となっていて、3-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形のときと同じような原理で、上の行から2つ数を足したのでg(n+2)の係数が2、上の上の行から1つ数を足したのでg(n+1)の係数が1、上の上の上の行から2つ数を足したのでg(n)の係数は2になっています。

 

 

 

最後に、具体的には書きませんが

6-フィボナッチ数列

 

B  C
D
E  F
G
 

となっているとき、A+B+C+D+E+F=Gとなっているようなパスカルの三角形と対応しています。

 

以上です。なにか間違っているところなどあれば是非教えて下さい