明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

ファレイ数列の行列の性質

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。

mizumiya-umi.hatenablog.com

 

二次正方行列を

(a c)
(b d)

というように書くことにする。

 

a,b,dを自然数、cを0以上の整数、a≦b、c<d、ad-bc=1とするとき、

a/bとc/dはいずれかのファレイ数列で隣り合っています。

(a c)
(b d)

を、ファレイ行列と呼ぶことにします。

 

 

ファレイ数列についてはwikiを見て下さい↓ 

ファレイ数列 - Wikipedia

 

 

さて、ここからが書きたかったことです。

二次正方行列の1行1列目の値を1行2列目に足し、

2行1列目の値を2行2列目に足す操作を右!操作と呼ぶことに、

1行2列目の値を1行1列目に足し、

2行2列目の値を2行1列目に足す操作を左!操作と呼ぶことにします。

(a c)
(b d)

右!操作をすると、

(a a+c)
(b b+d)
となり、この行列に更に左!操作をすると、

(2a+c a+c)
(2b+d b+d)
となります。またこのふたつの操作を合成して、

(a c)
(b d)

右!左!操作をすると

(2a+c a+c)
(2b+d b+d)

ができる、と書くことにします。

 

 ファレイ行列に右!操作をしても、左!操作をしてもファレイ行列のままです。

 

 さて、X!操作を、任意の右!操作と左!操作を合成した操作とします。

 

(1 0)
(0 1)
という単位行列X!操作をすると

(a c)
(b d)

というファレイ行列になるとき、

(a c)(a c)
(b d)(b d)

というふたつの同じファレイ行列の積は、

(a c)
(b d)
X!操作をしたものと等しくなるだろうと予想しました。

 

例をみてみましょう。

(2 1)
(3 2)

というファレイ行列は、単位行列左!右!左!操作をすると得られます。

 

(2 1)(2 1)
(3 2)(3 2)

は、

(7    4)
(12  7)

という行列になりますが、これは、

(2 1)
(3 2)

左!右!左!操作をすることでも得られます。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!