a,b,c,d,e,fを
a^2+b^2=c^2
d^2+e^2=f^2
更に、a,dを奇数、b,eを偶数、c,fを奇数として話を進めます。
実は、
n^2+( (a+d) /2)^2+( (b+e) /2)^2=( (c+f) /2)^2、
(ad+n^2)+(be+n^2)=(cf-n^2)+n^2
となるような整数nが、どんなa,b,c,d,e,fに対しても存在するようなのです。
また、(ad+n^2),(be+n^2),(cf-n^2)はすべて平方数になるようです。
そして、√(A)を二乗するとAになる正の数とすると、
( (a+d) /2+√(ad+n^2) )^2 + ( (b+e) /2+√(be+n^2) )^2 = ( (c+f) /2+√(cf-n^2) )^2、つまり、
(a+d)/2+√(ad+n^2), (b+e)/2+√(be+n^2), (c+f)/2+√(cf-n^2)はピタゴラス数になっているようなのです。
例を見ていきましょう。
(3,4,5)=(a,b,c)と(5,12,13)=(d,e,f)に上で書いたような演算をして新たなピタゴラス数を作ります。
1^2+((3+5)/2)^2+((4+12)/2)^2=((5+13)/2)^2
(3×5+1^2)+(4×12+1^2)=(5×13-1^2)+1^2
なので、
(a+d)/2+√(ad+n^2)=(3+5)/2+√(3×5+1)=8
(b+e)/2+√(be+n^2)=(4+12)/2+√(4×12+1)=15
(c+f)/2+√(cf-n^2)=(5+13)/2+√(5×13-1)=17
となり、新たなピタゴラス数(8,15,17)が得られました。
ピタゴラス数の組全体の集合が、この演算について閉じているはずですが、単位元がなく、結合法則が成り立たないので群にはなりません。
うまいことやって群にできないかなぁと考えています。読んで下さった方も挑戦してくれるととても嬉しいです。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
