nを自然数とする。
数列F[n]を、
F[0]=0,F[1]=1,F[n-1]+F[n]=F[n+1]
と定義する。つまりF[n]はフィボナッチ数列です。
互いに素な自然数a,bを、
F[n-1]/F[n]+F[n]/F[n+1]=a/b
と定義するとき、
a+b=F[2n+1]
a-b=(F[n-1])^2
となっていると予想しました。
例としてn=3のときを考えると、
F[2]=1,F[3]=2,F[4]=3より、
F[2]/F[3]+F[3]/F[4]=1/2+2/3=7/6
となることから、a=7,b=6が分かり、
a+b=13=F[7]
a-b=1=1^2=(F[2])^2
と、確かにこの例の場合は成り立っていることが分かりました。
また、分母と分子を逆にしたものでも、同様のことが言えるようです。
互いに素な自然数c,dを
F[n]/F[n-1]+F[n+1]/F[n]=c/d
と定義するとき、
c+d=(F[n+1])^2
c-d=F[2n-1]
となっているようなのです。
例としてn=4のときを考えると、
F[3]=2,F[4]=3,F[5]=5より、
F[4]/F[3]+F[5]/F[4]=3/2+5/3=19/6
となることから、c=19,d=6
が分かり、
c+d=25=5^2=(F[5])^2
c-d=13=F[7]
と、確かにこの例の場合は成り立っていることが分かりました。
一般フィボナッチ数列の場合にも似たようなものをひとつだけ見つけました。
j,kを自然数とする
数列G[n]を
G[0]=0,G[1]=1,j×G[n-1]+k×G[n]=G[n+1]
と定義する。
互いに素な自然数e,fを
G[n-1]/G[n]+G[n]/G[n+1]=e/f
と定義するとき、
j×e+k×f=G[2n+1]
となっているようなのです。
j=3,k=2,n=2の場合の例を見ていきます。
このとき、G[1]=1,G[2]=2,G[3]=7,G[4]=20,G[5]=61です。
G[1]/G[2]+G[2]/G[3]=1/2+2/7=11/14
なので、e=11,f=14であることが分かり、
j×e+k×f=3×11+2×14=33+28=61=G[5]
となり、この例の場合では真であることが確かめられました。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
