明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

等比数列やe^xのべき乗と比例

f(x)=a[0]+a[1]x+a[2]x^2+a[3]x^3+a[4]x^4+…

という関数f(x)があったとき

{a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],…}

という関数の係数を並べた数列を、関数と同一視します

関数g(x)を

g(x)=b[0]+b[1]x+b[2]x^2+b[3]x^3+b[4]x^4+…

とするとき

f(x)×g(x)=a[0]b[0]+(a[0]b[1]+a[1]b[0])x+(a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0])x^2+…

なので、数列と数列のかけ算を

{a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],…}×{b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],…}

={a[0]b[0] ,a[0]b[1]+a[1]b[0] ,a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0] ,a[0]b[3]+a[1]b[2]+a[2]b[1]+a[3]b[0] ,a[0]b[4]+a[1]b[3]+a[2]b[2]+a[3]b[1]+a[4]b[0] ,…}

と定義します

 

この数列のかけ算の定義を使うと

mizumiya-umi.hatenablog.com

で書いたk次三角数の数列は

{1,1,1,1,1,1,1…}という数列の(k+1)乗だと考えられます

 

初項1,公比rの数列Rのべき乗は

R^1={1,r,r^2,r^3,r^4,…}

R^2={1,2r,3r^2,4r^3,5r^4,…}

R^3={1,3r,6r^2,10r^3,15r^4,…}

なので

R^(k+1)はk次三角数の数列のn項目にr^(n-1)をかけたものと、同じになるようです

 

このことから分かるように

数列R^(k+1)で、かけると次の項になるような数を並べると

k次三角数と同じように比例があるようです。

実際に並べると

R^1は  ×r ,×r ,×r ,×r ,×r ,×r ,……

R^2は  ×2r,×3r/2,×4r/3,×5r/4,×6r/5,×7r/6,……

R^3は  ×3r,×2r,×5r/3,×3r/2,×7r/5,×4r/3,……

R^4は  ×4r,×5r/2,×2r,×7r/4,×8r/5,×3r/2,……

R^5は  ×5r,×3r,×7r/3,×2r,×9r/5,×5r/3,……

となり縦の列で見ると

1列目はrずつ、2列目はr/2ずつ、3列目はr/3ずつ、

n列目はr/nずつ値が増えていってます。

 

一般にR^(k+1)において、かけると次の項になるような数を並べると

×r(k+1),×r(k+2)/2,×r(k+3)/3,×r(k+4)/4,×r(k+5)/5,×r(k+6)/6,……

となると思っています

これを計算すると

R^(k+1)={1,r(k+1),r^2(k+1)(k+2)/2!,r^3(k+1)(k+2)(k+3)/3!,…}

となりR^(k+1)の第m項は

r^(m-1)×(k+m-1)C(m-1)になりそうです

((k+m-1)C(m-1)は、(k+m-1)個のものから(m-1)個選ぶ組み合わせの総数)

 

今まで整数乗を考えていましたが

kに有理数や実数を入れ、有理数乗や実数乗を考えても同じ比例があるだろうと予想しています

 

 また、e^x(eは自然対数の底のこと)をマクローリン展開した

1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…

を数列にすると

{1,1/1!,1/2!,1/3!,1/4!,…}

となります。

これをべき乗したものにも、k次三角数やRの数列と同じように比例があるようです。

 

実際にe^xのべき乗を見ていくと

e^x={1,1,1/2,1/6,1/24,…}

e^2x={1,2,2,4/3,2/3,…}

e^3x={1,3,9/2,9/2,27/8,…}

e^4x={1,4,8,32/3,32/3,…}

となり、かけると次の項になるような数を並べると

e^xは  ×1,×1/2,×1/3,×1/4,…

e^2xは ×2,×1,×2/3,×1/2,…

e^3xは ×3,×3/2,×1,×3/4,…

e^4xは ×4,×2,×4/3,×1,…

と、縦列で見たときm列目は1/mずつ増えていっています

 

この比例を保ってe^0xを考えたとき、

かけると次の項になるような数は全て0になります。

e^0xで、かけると次の項になるような数が全て0になることから、

e^(-jx)でかけると次の項になるような数が、

e^jxのものを(-1)倍したものになることが分かります

 

Rとe^xの、べき乗したときの比例の類似を面白いな~!!と思います。

数列Rのn項目をR(n)と書くことにすると、

R(n)=r^(n-1)

と書け、e^xと形が似ていることと関係あるのかな、と思いました。

 

以上です。お読みいただきありがとうございました!