n番目の三角数をΔn,つまりΔn=n(n+1)/2とします。
Δa+Δb=Δcを満たす自然数a,b,cを三角ピタゴラス数と呼ぶことにします。
一組の三角ピタゴラス数から無数の三角ピタゴラス数を見つける方法を思いつきました。
Δa+Δb=Δc、s=2(a+b-c)+1とするとき、
Δ(a-s)+Δ(b-s)=Δ(c-s)となっているのです。
ただし、nを自然数とするとき、Δ(-n)=Δ(n-1)となっていることに注意して下さい。
証明を書きます。
f(x)=Δ(a+x)+Δ(b+x)-Δ(c+x)という関数を考えると、
f(x)=x(x+2(a+b-c)+1)となることから、f(-s)=0が言え、
Δ(a-s)+Δ(b-s)-Δ(c-s)=0となることが言え、よって示されました。
ピタゴラス数のときのように、a,b,cのうちどれかひとつが負の場合も考えることで、基本的に一組の三角ピタゴラス数から4種類の新たな三角ピタゴラス数を見つけることができます。
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