明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

60度・120度の角を持つ整数三角形の親子関係・友達関係

ある三角形の三辺の長さi,j,kが、i^2+ij+j^2=k^2となっているとき、iとjの間の角は120度になっています。

また、ある三角形の三辺の長さd,e,fが、d^2-de+e^2=f^2となっているとき、dとeの間の角は60度になっています。

こうなっていることの証明は余弦定理を使うとできます。

 

さて、a^2+ab+b^2=c^2を満たす整数a,b,cを考えることで、辺がすべて整数の、60度の角を持つ三角形と120度の角を持つ三角形をすべて考えることができます。

a,bがともに正の数ならば120度の角を持つ整数三角形、a,bどちらかが正の数でもう片方が負の数ならば60度の角を持つ整数三角形、a,bがともに負の数ならば120度の角を持つ整数三角形です。

 

これから、a,b,cについて調べることで、60度・120度の角を持つ整数三角形たちのつながりを見つけたいと思います。

 

まずは親子関係から。

f(x)=(a+x)^2+(a+x)(b+x)+(b+x)^2-(c+x)^2という関数を考えると、

f(x)=2x(x+3/2×(a+b)-c)となることから、

s=3/2×(a+b)-cとすると、f(-s)=0となるので、

(a-s)^2+(a-s)(b-s)+(b-s)^2=(c-s)^2となっていることが分かります。

よって、a,b,cが60度・120度の角を持つ整数三角形の辺の長さになっているとき、a-s,b-s,c-sもまた60度・120度の角を持つ整数三角形の辺の長さになっていることが分かりました。

この関係を親子関係と呼んでいます。

 

次に、友達関係を説明します。

g(x)=a^2+a(b+x)+(b+x)^2-c^2という関数を考えると、

g(x)=x(x+a+2b)となることから、g(-a-2b)=0が分かり、

a^2+a(-a-b)+(-a-b)^2=c^2となっていることが分かりました。

よって、a,b,cが60度・120度の角を持つ整数三角形の辺の長さになっているとき、a,-a-b,cもまた60度・120度の角を持つ整数三角形の辺の長さになっていることが分かりました。

この関係を友達関係と呼んでいます。

 

親子関係、友達関係を結んでいくことで、すべての60度・120度の角を持つ整数三角形が現れるのであれば面白いなぁと思いますが、証明はできていません。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!