明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

ピタゴラス数と四元数

前回の記事

mizumiya-umi.hatenablog.com

ピタゴラス数と複素平面のつながりのように

4次ピタゴラス数と四元数でも同様のつながりがあることに気付きました

 

4次ピタゴラス数は僕の造語で

a^2+b^2+c^2+d^2=e^2

を満たすような整数a,b,c,d,eの組です

 

四元数は、僕はあまり詳しくないのですが

複素数を拡張したもので

 i,j,kという四元数の単位を使って

x+yi+zj+wk(x,y,z,wは実数) と表せる数です

 

また四元数にはノルムというものがあり

x+yi+zj+wkのノルムは

√(x^2+y^2+z^2+w^2)

つまりx,y,z,wの2乗の和の平方根と定義されます

複素数における絶対値のようなものですね

 

詳しくはウィキペディア

ja.wikipedia.org

を見て下さい

 

さて、a,b,c,dを任意の整数とするとき

(a+bi+cj+dk)を2乗した値の

実数部分、iの係数、jの係数、kの係数、ノルム

が4次ピタゴラス数の組となることに気付きました

 

実際に計算すると

 (a+bi+cj+dk)^2=(a^2ーb^2ーc^2ーd^2)+2abi+2acj+2adk

なので

実数部分は(a^2ーb^2ーc^2ーd^2)

iの係数は2ab

jの係数は2ac

kの係数は2ad

です

ノルムを計算すると

√((a^2ーb^2ーc^2ーd^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2ad)^2)

=a^2+b^2+c^2+d^2

となり

実数部分、iの係数、jの係数、kの係数、ノルムが全て整数で、4次ピタゴラス数の組になります

 

また

実数部分、iの係数、jの係数、kの係数、ノルムが4次ピタゴラス数の組になっているような四元数同士の積は、

実数部分、iの係数、jの係数、kの係数、ノルムが4次ピタゴラス数の組になっているような四元数になります

 

前回の記事の、実部と虚部と絶対値がピタゴラス数の組になっているものの関係ととても似ていますね!

 

四元数は四次元空間、複素平面は二次元のようなものなので、三次元空間でも同様のものが考えられるといいなぁと思います

あと八元数でも同様のものを考えられたら楽しいなと思います

 

以上です! お読みいただきありがとうございました!