明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

n角錐数に対応する九九の表

三角錐数に対応する数の敷き詰め」に書いた内容の、「高次三角数に対応する数の積」とは違う方向への拡張です。

 

さて、「三角錐数に対応する数の敷き詰め」に書いた内容は、九九と三角錐数が対応している、と言うこともできます。

 

九九の表は

 

1   2  3    4   5   6   7   8   9
2   4  6    8 10 12 14 16 18
3   6  9  12 15 18 21 24 27
4   8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81

 

このようなものですね。

この表の上を、左下から右上へと斜め45度で横切る直線を考え、その直線を一番上の場所から一個ずつずらし、それぞれの直線が通過する数の総和を求めると三角錐数が表れるのでした。

 

では、本題に入ります。

偶数の段を除き、奇数の段のみにした九九の表で、同じような直線を考えると、四角錐数が表れることに気付きました。

 

四角錐数とは、平方数を小さい順に足していったものです。

平方数を小さい順に書くと、

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,……

となるので、四角錐数は小さい順に

1,5,14,30,55,91,140,204,285,385,……

となります。

 

では実際に、奇数の段のみの九九の表を書き、直線の通る数を足していきます。

 

 1   2  3    4   5   6   7   8   9
 3   6  9  12 15 18 21 24 27
 5 10 15 20 25 30 35 40 45
 7 14 21 28 35 42 49 56 63
 9 18 27 36 45 54 63 72 81
11 22 33 44 55 66 77 88 99

 

1=1

3+2=5

5+6+3=14

7+10+9+4=30

9+14+15+12+5=55

11+18+21+20+15+6=91

 

となり、確かに四角錐数が表れました。

 

一般にan+1の段(aは0以上の整数、nは自然数)のみを残した九九の表で、斜め45度の直線の上を通る数の和を出していくと、n+2角錐数が表れると予想しています。

n+2角錐数とはn+2角数を小さい順に足したものです。

 

証明できていないので、分かる方いたら教えてください。