パスカルの三角形の、n行m列目を分子、n+a行m列目を分母にしてできた分数を足し合わせたものは、nだけを大きくしていくと一定量ずつ大きくなっていくようです。
(n行は上からみてn番目の場所、m列は左からみてm番目の場所という意味です。また、数のない場所は0として扱います。)
1
11
121
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
例として、まずa=1のときを見てみましょう
n=1のとき、1/1=1
n=2のとき、1/1+1/2=3/2
n=3のとき、1/1+2/3+1/3=2
n=4のとき、1/1+3/4+3/6+1/4=5/2
n=5のとき、1/1+4/5+6/10+4/10+1/5=3
と、1/2ずつ増加していきます。
a=2のときは、
n=1のとき、1/1=1
n=2のとき、1/1+1/3=4/3
n=3のとき、1/1+2/4+1/6=5/3
n=4のとき、1/1+3/5+3/10+1/10=2
n=5のとき、1/1+4/6+6/15+4/20+1/15=7/3
と、1/3ずつ増加していきます。
一般にaを固定した場合、1/(a+1)ずつ増加するのではないか、と思っています。
このことは、拡張もできるだろうなと思っています。
例えば上のパスカルの三角形を「n行目が11の(n-1)乗になっている」ととるとき、
「n行目が12の(n-1)乗になっている」ようなパスカルの三角形でも、同様のことが成り立っているようです。
以上です! お読みいただきありがとうございました!