明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形と分数

パスカルの三角形の、n行m列目を分子、n+a行m列目を分母にしてできた分数を足し合わせたものは、nだけを大きくしていくと一定量ずつ大きくなっていくようです。

(n行は上からみてn番目の場所、m列は左からみてm番目の場所という意味です。また、数のない場所は0として扱います。)

 

11
121
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5  10   10  5 1
1   6  15  20  15  6  1
1  7  21  35  35  21  7  1
1  8  28  56  70  56  28  8  1
1  9  36  84  126 126  84  36  9  1

 

例として、まずa=1のときを見てみましょう

n=1のとき、1/1=1

n=2のとき、1/1+1/2=3/2

n=3のとき、1/1+2/3+1/3=2

n=4のとき、1/1+3/4+3/6+1/4=5/2

n=5のとき、1/1+4/5+6/10+4/10+1/5=3

と、1/2ずつ増加していきます。

 

a=2のときは、

n=1のとき、1/1=1

n=2のとき、1/1+1/3=4/3

n=3のとき、1/1+2/4+1/6=5/3

n=4のとき、1/1+3/5+3/10+1/10=2

n=5のとき、1/1+4/6+6/15+4/20+1/15=7/3

と、1/3ずつ増加していきます。

 

一般にaを固定した場合、1/(a+1)ずつ増加するのではないか、と思っています。

 

このことは、拡張もできるだろうなと思っています。

例えば上のパスカルの三角形を「n行目が11の(n-1)乗になっている」ととるとき、

「n行目が12の(n-1)乗になっている」ようなパスカルの三角形でも、同様のことが成り立っているようです。

以上です! お読みいただきありがとうございました!