mod pにおけるある既約n次多項式の根を生成元とする乗法巡回群に0という元を含めたものが、元の個数がp^n個の体になるだろうと予想しました。
既約n次多項式の根であっても体になるような集合を作れないものもありますが、作れるようなものがどんなp,nにも必ず存在するだろう、という予想です。
例としてp＝3,n＝3の場合を見てみます。
mod 3において、x^3－x＋1は既約多項式です。
何故なら、まずxに0,1,2いずれを代入しても0にならないので1次式を因数に持たないことが分かり、3次式が2次式を因数に持つためには1次式も因数に持たないといけないことから2次式も因数に持たないことが分かるからです。
x^3－x＋1の根のひとつをaとすると、a^3－a＋1＝0からa^3＝a－1が分かります。
さて、これからaを生成元とする位数3^3－1、つまり位数26の乗法巡回群ができることを見ていきます。
a^3＝a－1なので、a^3が出てきたらa－1に置き換えます。また、mod 3なので 2＝－1 になります。
a^0＝1
a^1＝a
a^2＝a^2
a^3＝a－1
a^4＝a^2－a
a^5＝－a^2＋a－1
a^6＝a^2＋a＋1
a^7＝a^2－a－1
a^8＝－a^2－1
a^9＝a＋1
a^10＝a^2＋a
a^11＝a^2＋a－1
a^12＝a^2－1
a^13＝－1
a^14＝－a
a^15＝－a^2
a^16＝－a＋1
a^17＝－a^2＋a
a^18＝a^2－a＋1
a^19＝－a^2－a－1
a^20＝－a^2＋a＋1
a^21＝a^2＋1
a^22＝－a－1
a^23＝－a^2－a
a^24＝－a^2－a＋1
a^25＝－a^2＋1
a^26＝1
となり、位数26になることが確かめられました。これに0という元を加えると、加減乗除のできる体になります。
根の値を求めることは大変ですが、このように文字だけで計算しても確かめられるので、自分で調べたい方は文字のままで計算してみてください。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
