pを素数とし、a,bをmod pで0でない整数とする。
以下の等式はすべてmod pで考える。
nを整数とする。
af(n)+bf(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1)=1で定義される一般フィボナッチ数列f(n)の、nを0より大きくしていき、最初にf(n)=0,f(n+1)=1となるようなnをf(n)のループの長さと呼ぶことにし、
a+bx=x^2という式を満たすxを考えるとき、x^k=1となるような最小のkをxの位数と呼ぶことにするとき、
f(n)のループの長さとxの位数は一致するだろうと予想しました。
具体例を書きます。
p=3、つまりmod 3のとき、
a=1,b=1の場合にf(n)のループの長さとxの位数が一致することを見ていきます。
f(n)は、f(n)+f(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1)=1なので、
f(0)=0
f(1)=1
f(2)=1
f(3)=2
f(4)=0
f(5)=2
f(6)=2
f(7)=1
f(8)=0
f(9)=1
となり、最初にf(n)=0,f(n+1)=1となるようなnの値が8であることが分かったので、f(n)のループの長さは8です。
xは1+x=x^2という式を満たすので、
x^0=1
x^1=x
x^2=x+1
x^3=2x+1
x^4=2
x^5=2x
x^6=2x+2
x^7=x+2
x^8=1
となるので、xの位数は8です。
一致しましたね！
また、これを一般化して、
一般トリボナッチ数列と3次方程式の解のループの長さと位数が一致したり、
一般k-フィボナッチ数列とk次方程式の解のループの長さと位数が一致したりしたら、面白いなぁと思います。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
