n次元の三角形を構成する-1次元以上n次元以下の三角形の個数を並べたものが、パスカルの三角形と同じになるらしいことに気付きました。
構成という言葉は、
三角形は、頂点3つと、線分3つと、面1つで構成されている。
というような意味合いで使っています。
書くのが大変なので、n次元の三角形を[n]三角形と書きます。
[n]三角形のnが小さいものを具体的に書くと、
[-1]三角形は無、
[0]三角形は点、
[1]三角形は線分、
[2]三角形は(通常の)三角形、
[3]三角形は四面体、
[4]三角形は五胞体、
です。
n次元の三角形を、nより小さい次元の三角形で構成されているものと定義した、という感じです。
-1次元は、僕が勝手に定義したものなので、説明します。
空間(3次元)にいる人が見る世界は平面(2次元)です。平面(2次元)にいる人は、世界が線(1次元)に見えるでしょう。線(1次元)にいる人は、世界が点(0次元)に見えるはずです。
なので、点(0次元)にいる人が見ている世界、無、を-1次元と定義しました。
-1次元の説明として、n次関数の微分を考えても面白いです。
2次関数y=ax^2+bx+cを微分すると、1次関数y=2ax+bになります。
1次関数y=2ax+bを微分すると、0次関数y=2aになります。
ここで更に、0次関数y=2aを微分すると、y=0となり、これより先は微分しても変化しません。
-1次関数を、このy=0のようなものと定義してみたということです。
では、実際にパスカルの三角形と同じになるかを見てみます。
屁理屈に近いですが、[n]三角形の構成には[-1]三角形が1つだけ組み込まれている、つまりどの次元にも「無い」が常に1つだけある、ということにします。
見やすくする為に、[n]三角形を[n]と省略して書くことにします。
[-1]は、[-1]が1つで構成されています。
[0] は、[-1]が1つ、[0]が1つで構成されています。
[1] は、[-1]が1つ、[0]が2つ、[1]が1つで構成されています。
[2] は、[-1]が1つ、[0]が3つ、[1]が3つ、[2]が1つで構成されています。
[3] は、[-1]が1つ、[0]が4つ、[1]が6つ、[2]が4つ、[3]が1つで構成されています。
3次元まで、パスカルの三角形と一致しています！
関連した、面白いと感じたことを書きます。
パスカルの三角形の、各行の端から見て三番目の数は、三角数です。
三角数とは、1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,……と続く数で、
ボウリングのピンのように三角形状に物を並べたときの個数です。
パスカルの三角形のk行目までの数の個数が、k番目の三角数だ、と考えても良いです。
これを今回の内容と結び合わせて考えると、n次元の三角形を構成する線分（[1]三角形）の個数が、n番目の三角数になるのです！
三角形に関係した別の個数が同じ数になることを不思議に思います。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
