明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

原点以外を中心に回転する複素平面

zをp乗して1になる数

z^p=1(zは1でない複素数、pは2以上の整数)

aを複素数とし

b=( (p-1)+(p-2)z+(p-3)z^2+……+z^(p-2) )×a/p

とします

 

xを任意の複素数とするとき

xz+aは、

bを中心として、複素平面上で反時計回りにxを1/p回転させた値になることに気付きました

 

 証明します

まず、bz+a=b

つまり、zをかけてaを足す操作をしてもbが変わらないことを示します

bz+a

=( (p-1)+(p-2)z+(p-3)z^2+……+z^(p-2) )×a/p×z+a

=( (p-1)z+(p-2)z^2+(p-3)z^3+……+z^(p-1)+p)×a/p

=( ( (p-2)z+(p-3)z^2+……+z^(p-2)+(p-1) )+(z+z^2+……+z^(p-1)+1) )×a/p

=( (p-1)+(p-2)z+(p-3)z^2+……+z^(p-2) )×a/p

( z+z^2+……+z^(p-1)+1=0なので)

=b

となり示せました

 

任意の複素数xに対して

X=xz+aが、bを中心に複素平面上で反時計回りにxを1/p回転させた値だと示すには

複素数にzをかけると、原点を中心に反時計回りに1/p回転することから、

(x-b)z=X-b

を示せばよいと分かります

X-b

=xz+a-b

=xz-bz( b=bz+aなので)

=(x-b)z

なので真と示せました

 

任意の複素数にzをp回かけると(z^p=1なので)元の数に戻るように、

任意の複素数に対して「zをかけてaを足す」をp回すると、

bを中心として複素平面上で反時計回りに1(=(1/p)×p)回転するので、元の数に戻ります

それが、至るところ真ん中になるみたいで楽しいなと思います

 

以上です! お読み頂きありがとうございましたっ!