a[1],a[2],……,a[n]というn個の0以上の整数の和が、bという自然数の平方になるとします。
つまり、
a[1]^2+a[2]^2+……+a[n]^2=b^2
となっているということです。
このようなa[1],……,a[n],bの組を、一つの組から新たに見つけることのできるような計算をおそらく見つけました。予め断っておくと証明はできていません。
その計算とはこのようなものです。
s=2(a[1]+a[2]+……+a[n]-b)/(n-1)
とするとき、
(s-a[1])^2+(s-a[2])^2+……+(s-a[n])^2=(s-b)^2
となっている、というものです。
ただし、整数の組にするためには、sが分数なので、全体を何倍かしなければならないときもあります。
n=2のときは、通常の二重ピタゴラス操作になります。
では例を挙げます。
1^2+1^2+3^2+4^2+13^2=14^2
から新たな組を見つけましょう。
a[1]=1,a[2]=1,a[3]=3,a[4]=4,a[5]=13,b=14
とします。
s=2(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]-b)/4
=2(1+1+3+4+13-14)/4=4
となるので、
s-a[1]=3
s-a[2]=3
s-a[3]=1
s-a[4]=0
s-a[5]=-9
s-b=-10
となり、実際に3^2+3^2+1^2+0^2+(-9)^2=(-10)^2となっています。
また、任意のa[1],……,a[n],bを、(-1)倍、つまり負の数に変えてこの計算をすることでも新たな組を見つけることができます。
上の例のa[1]を(-1)倍したもので考えると、
a[1]=-1,a[2]=1,a[3]=3,a[4]=4,a[5]=13,b=14
なので、
s=2(-1+1+3+4+13-14)/4=3となり、
s-a[1]=4
s-a[2]=2
s-a[3]=0
s-a[4]=-1
s-a[5]=-10
s-b=-11
つまり、4^2+2^2+0^2+(-1)^2+(-10)^2=(-11)^2という式が表れ、計算すると確かに合っています。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
【追記】
証明できることに気付きました…。
(s-a[1])^2+(s-a[2])^2+……+(s-a[n])^2=(s-b)^2
の(左辺)－(右辺)=0を展開すると
ns^2-2s(a[1]+a[2]+……+a[n])+(a[1]^2+a[2]^2+……+a[n]^2)-s^2+2bs-b^2=0
となります
a[1]^2+a[2]^2+……+a[n]^2=b^2を代入すると
ns^2-2s(a[1]+a[2]+……+a[n])-s^2+2bs=0
となって、両辺をsで割ると
s(n-1)-2(a[1]+a[2]+……+a[n]-b)=0
となり
s=2(a[1]+a[2]+……+a[n]-b)/(n-1)を代入すると正しい式であると分かり、証明できました
