前回からの続きです。
ひとつ、複素ピタゴラス数の予想で間違っていることがあったので訂正させてください。
前回、前々回に書いた諸々の予想が当てはまらない例を見つけたので、実部虚部ともに正の整数になっている複素ピタゴラス数の組のみを考える、という条件をつけさせてください。
また、互いに素な複素ピタゴラス数のみを考える、と書くのを忘れていました。すみません。
今回書く予想もその条件のもとで行きます。
a,b,cをa^2+b^2=c^2となっている複素ピタゴラス数、任意の複素数xの実部を{x},虚部を[x]と書くことにします。
このとき、
{a+b+c}^2+[a+b+c]^2-1=α^2
{-a+b+c}^2+[-a+b+c]^2-1=β^2
{a-b+c}^2+[a-b+c]^2-1=γ^2
{a+b-c}^2+[a+b-c]^2-1=Δ^2
となるような自然数α,β,γ,Δが存在し、さらに、
α=β+γ+Δ
となっているだろうと予想しました。
例としてa=4+7i,b=1+4i,c=4+8iという複素ピタゴラス数で考えると、
{a+b+c}^2+[a+b+c]^2-1=9^2+19^2-1=81+361-1=441=21^2
{-a+b+c}^2+[-a+b+c]^2-1=1^2+5^2-1=5^2
{a-b+c}^2+[a-b+c]^2-1=7^2+11^2-1=169=13^2
{a+b-c}^2+[a+b-c]^2-1=1^2+3^2-1=3^2
21=5+13+3
となります。
他にも考えたことがあります。
({a}+[a])^2+({b}+[b])^2-2=({c}+[c])^2
となっているのではないかというものです。
a=4+7i,b=1+4i,c=4+8iで考えると、
({a}+[a])^2+({b}+[b])^2-2=11^2+5^2-2=144
({c}+[c])^2=12^2=144
となります。
また、({a}-[a])^2+({b}-[b])^2-2=({c}-[c])^2ともなっていそうです。
もうひとつ予想しました。
({a}+{b})^2+([a]+[b])^2-2=ε^2
({a}-{b})^2+([a]-[b])^2-2=ζ^2
となるような自然数ε,ζがあるのではないかというものです。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
