明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

階乗の和ですべての自然数を一意的に表す

a[n]を0以上n以下の整数とするとき、

すべての自然数

a[1]×1!+a[2]×2!+a[3]×3!+a[4]×4!+……

の形で一意的に表せると予想しました。

!は階乗という意味で、n!=1×2×……×nという意味です。

 

小さい自然数の場合を見てみましょう。1!=1,2!=2,3!=6なのでそのように書きます。

1=1×1

2=0×1+1×2

3=1×1+1×2

4=0×1+2×2

5=1×1+2×2

6=0×1+0×2+1×6

となり、確かに一意的に表せています。

 

では拡張を書きます。

a[n]を0以上n以下の整数とするとき、

すべての整数は

a[1]×(-1!)+a[2]×2!+a[3]×(-3!)+a[4]×4!+a[5]×(-5!)……

の形で一意的に表せるのかなと思いました。

 

小さい自然数の場合を見てみます。-1!=-1,2!=2,-3!=-6,4!=24なのでそのように書きます。

1=1×(-1)+1×2

2=0×(-1)+1×2

3=1×(-1)+2×2

4=0×(-1)+2×2

5=1×(-1)+0×2+3×(-6)+1×24

6=0×(-1)+0×2+3×(-6)+1×24

というようになっています。

 

もうひとつ違う形に拡張したものも考えました。

mを奇数の自然数とし、m!!=1×3×……×mとする。

すべての自然数

a[2]×1!!+a[4]×3!!+a[6]×5!!+a[8]×7!!+…+a[2n]×(2n-1)!!+…

の形で一意的に表せると予想しました。

奇数のみの階乗を書きましたが、偶数のみの階乗でも同じことが言えそうです。

更に拡張して、nの倍数のみの階乗、nで割った余りがkの自然数のみの階乗などでも同様のことを考えることができます。

一個目の拡張で書いたような、ひとつ置きに負の数をつけたものをこの拡張で考えても、すべての整数を一意的に表せるだろうと予想しています。

 

以上です。お読みいただきありがとうございました!