a[n]を0以上n以下の整数とするとき、
すべての自然数は
a[1]×1!+a[2]×2!+a[3]×3!+a[4]×4!+……
の形で一意的に表せると予想しました。
!は階乗という意味で、n!=1×2×……×nという意味です。
小さい自然数の場合を見てみましょう。1!=1,2!=2,3!=6なのでそのように書きます。
1=1×1
2=0×1+1×2
3=1×1+1×2
4=0×1+2×2
5=1×1+2×2
6=0×1+0×2+1×6
となり、確かに一意的に表せています。
では拡張を書きます。
a[n]を0以上n以下の整数とするとき、
すべての整数は
a[1]×(-1!)+a[2]×2!+a[3]×(-3!)+a[4]×4!+a[5]×(-5!)……
の形で一意的に表せるのかなと思いました。
小さい自然数の場合を見てみます。-1!=-1,2!=2,-3!=-6,4!=24なのでそのように書きます。
1=1×(-1)+1×2
2=0×(-1)+1×2
3=1×(-1)+2×2
4=0×(-1)+2×2
5=1×(-1)+0×2+3×(-6)+1×24
6=0×(-1)+0×2+3×(-6)+1×24
というようになっています。
もうひとつ違う形に拡張したものも考えました。
mを奇数の自然数とし、m!!=1×3×……×mとする。
すべての自然数は
a[2]×1!!+a[4]×3!!+a[6]×5!!+a[8]×7!!+…+a[2n]×(2n-1)!!+…
の形で一意的に表せると予想しました。
奇数のみの階乗を書きましたが、偶数のみの階乗でも同じことが言えそうです。
更に拡張して、nの倍数のみの階乗、nで割った余りがkの自然数のみの階乗などでも同様のことを考えることができます。
一個目の拡張で書いたような、ひとつ置きに負の数をつけたものをこの拡張で考えても、すべての整数を一意的に表せるだろうと予想しています。
以上です。お読みいただきありがとうございました!