x,yを異なる4n+1型の素数とする。
どのようなx,yをとっても、
xy=a^2+b^2=c^2+d^2
となるような自然数a,b,c,dが存在します。
2xy=e^2+f^2=g^2+h^2
となるような自然数e,f,g,hも存在します。
それでは今回予想したことを書きます。
(a+c)と(b+d)の最大公約数をsとするとき、
((a+c)/s)^2+((b+d)/s)^2は、x,2x,y,2yのいずれかになると予想しました。
(a+c)と(b+d)ではなく、(a+d)と(b+c)としても同様になっているだろうと思っています。
また、
(e+g)と(f+h)の最大公約数をtとするとき、
((e+g)/t)^2+((f+h)/t)^2が、x,2x,y,2yのいずれかになると予想しました。
(e+g)と(f+h)ではなく、(e+h)と(f+g)としても同様になっているだろうと思っています。
具体例を挙げます。
x=13,y=17とするとき
xy=221=10^2+11^2=5^2+14^2
なので、a=10,b=11,c=5,d=14とすることができます。
(a+c)と(b+d)、つまり15と25の最大公約数は5なので、s=5です。
よって、((a+c)/s)=3,((b+d)/s)=5となり、
((a+c)/s)^2+((b+d)/s)^2=3^2+5^2=9+25=34=2×17=2yとなっています。
(a+d)と(b+c)、つまり24と16の最大公約数は8です
よって、((a+d)/8)=3,((b+c)/8)=2となり、
((a+d)/8)^2+((b+c)/2)^2=3^2+2^2=9+4=13=xとなっています。
2xyも考えてみると、
2xy=442=1^2+21^2=9^2+19^2なので、
(1+9)と(21+19)の最大公約数は10なので
((1+9)/10)^2+((21+19)/10)^2=1^2+4^2=17=y
(1+19)と(21+9)の最大公約数は10なので
((1+19)/10)^2+((21+9)/10)^2=2^2+3^2=13=x
と、確かに成立しています
また、p,q,rをピタゴラス数とするとき、
p^2+q^2=0^2+r^2と考えることで、今回言ったことをピタゴラス数にも適用させることができます。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
