1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……と続いていく数列をフィボナッチ数列と呼びます。
1,1からはじまり、前のふたつの数を足したものが次の数になっています。
フィボナッチ数列から一番最初の項の1を除いたもの、
つまり 1,2,3,5,8,13,21,34,55…… という数列を考えるとき、
この数列から隣り合わないように項を選び和をとることで、すべての自然数を一意的に表せます。（ゼッケンドルフの定理）
さて、
F[n]をn番目のフィボナッチ数（ただし一番はじめの1をF[0],二番目の1をF[1]とする）とするとき、
F[n]未満の自然数をすべて隣り合わないフィボナッチ数の和で表し、
それらの和のなかでそれぞれのフィボナッチ数がいくつずつ現れるかを調べたところ、規則が見つかりました。
具体的に小さい値を考えてみます。
1=1
2=2
3=3
4=1+3
5=5
6=1+5
7=2+5
8=8
9=1+8
10=2+8
11=3+8
12=1+3+8
13=13
となり、
2未満では1が1回現れていて、
3未満では1,2が1回ずつ現れていて、
5未満では1,3が2回、2が1回現れていて、
8未満では1,5が3回、2,3が2回現れていて、
13未満では1,8が5回、2,5が3回、3が4回現れています。
F[n]未満においてF[1]がg[1]回、F[2]がg[2]回……F[n-1]がg[n-1]回現れるとき、これを
F[n]→g[1],g[2],……,g[n-1] と書くことにすると
F[2]→1
F[3]→1,1
F[4]→2,1,2
F[5]→3,2,2,3
F[6]→5,3,4,3,5
となります。
これを三角形状に書き、更にもう少し大きい値も書くと
となります。
この三角形を見ると、斜めに隣り合うふたつの数の和が、その斜めの角度に沿った下の数になるようです。
証明はできていません。
以上です お読みいただきありがとうございました！
