af(n)+(a-1)f(n+1)=f(n+2) f(0)=0,f(1)=1 (とりあえず、aは2以上の自然数とする)
という一般フィボナッチ数列f(n)をおき
g(n)=f(n)+f(n+1)
とするとき、
g(n)=a^n
になっていることに気付きました。
例をあげると、a=2のとき
2f(n)+f(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1)=1
なので、
0,1,1,3,5,11,21,43,85,……
となり、確かにg(n)(=f(n)+f(n+1))は2^nになっている。
例が1つだけなのも寂しいので、a=5のときも考えてみると
f(n)は
0,1,4,21,104,521,……
となり、確かにg(n)は5^nになっている
証明は、数学的帰納法でできます
(i)定義より、g(0)=a^0
(ii)g(n)=a^nなら、g(n+1)=a^(n+1)であることを示す。
g(n)=a^nよりf(n)+f(n+1)=a^n
また、af(n)+(a-1)f(n+1)=f(n+2)なので、
g(n+1)=f(n+1)+f(n+2)=f(n+1)+af(n)+(a-1)f(n+1)=a(f(n)+f(n+1))=a×a^n=a^(n+1)
よってg(n)=a^nならg(n+1)=a^(n+1)
(i)(ii)よりg(n)=a^n
一般フィボナッチ数列の和でべき乗が表れるというのが僕は不思議だったので投稿してみました。
初期値が違うというだけではない、形の違う一般フィボナッチ数列同士の和や差などで綺麗な他の数列が表れたりしたら面白いなぁと思うので、これからそのことについて考えてみます。今あげた問題に限らず、フィボナッチ数列の良い情報が載っているところを知っている方は是非教えてください。
