明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

少し変形させたフィボナッチ数列に対応する少し変形させたパスカルの三角形

フィボナッチ数列を変形させたものに、パスカルの三角形を変形させたものを対応させることができました

 

その変形させたフィボナッチ数列

f(n)+f(n+1)+1=f(n+2)

f(0)=0, f(1)=1

で定義されるf(n)です

前の2個の数を足したものに+1したものが次の数になる数列、と言えます

nが小さい順に少し並べると

1,2,4,7,12,20,33,54,88,143,232,……

です

 以前の記事「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」のように、左下から右上へ数を足すとこの数列が表れるような、少し変形させたパスカルの三角形を見つけました

 

その少し変形させたパスカルの三角形は

2 1
3 3 1
4 6 4 1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6 1
7 21 35 35 21 7 1
 

というものです 全ての行の一番右の数は1で、一番左は行を追うごとに1ずつ増えます

それ以外は通常のパスカルの三角形と同様、上の2つの数を足します

左下から右上へ向かう直線の上にある数の総和をとっていくと

1, 2, 3+1, 4+3, 5+6+1, 6+10+4, 7+15+10+1

つまり

1,2,4,7,12,20,33

となり、変形させたフィボナッチ数列の、nが小さいときの数と一致しました

 

一般化して、

全ての行の一番右の数を1、a行目の一番左の数を(a-1)m+1、それ以外を通常のパスカルの三角形と同様、上の2個の数を足してできるパスカルの三角形と

f(n)+f(n+1)+m=f(n+2)

f(0)=0, f(1)=1

で定義される数列が対応すると予想しています

 

 m=2のときはこのようなパスカルの三角形です

3 1
5 4 1
7 9 5 1
9 16 14 6 1
11 25 30 20 7 1
13 36 55 50 27 8 1