mod pで円分多項式をいじっていたら面白いことに気付いたので投稿します
mod pとはpで割った余りのみを考えるということです
例えばmod 7で10と3は7で割った余りが同じなので、10=3 (mod 7)というように書くことができます
円分多項式についても書いておきます
円分多項式には、番があり、1番目の円分多項式、2番目の円分多項式、……というふうに自然数番目が無限に続いていきます
n番目の円分多項式は、n乗して初めて1になる複素数を根にもつ多項式のことです
例えば、4乗して初めて1になる数はi(=√-1)と-i(=-√-1)なので、この2つの複素数を根に持つ多項式は(x-i)(x+i),つまり x^2+1なので、4番目の円分多項式はx^2+1です
円分多項式は不思議なことに係数がすべて整数になります
では、思いついたことを書いていこうと思います
n番目の円分多項式をf(n,x)と書くことにする
例えば4番目の円分多項式はx^2+1なのでf(4,x)=x^2+1である
f(n,x)を微分したものをf(1)(n,x),更に微分したものをf(2)(n,x),k回微分したものをf(k)(n,x)と書くことにし、更に微分していないそのままのf(n,x)もf(0)(n,x)と書くことにする
f(0)(p,x)をm次式とし、pを素数とするとき
f(t)(p,1)=0 (mod p) (tは0以上m-1以下の整数)
になっていそうだ、ということに気付きました
例えば、p=5のとき
5番目の円分多項式はx^4+x^3+x^2+x+1なので、
f(0)(5,x)=x^4+x^3+x^2+x+1
xに1を代入して、f(0)(5,1)=0 (mod 5)
f(0)(5,x)を微分して、f(1)(5,x)=4x^3+3x^2+2x+1
xに1を代入して、f(1)(5,1)=0 (mod 5)
f(1)(5,x)を微分して、f(2)(5,x)=12x^2+6x+2
xに1を代入して、f(2)(5,1)=0 (mod 5)
f(2)(5,x)を微分して、f(3)(5,x)=24x+6
xに1を代入して、f(3)(5,1)=0 (mod 5)
となっていて、確かに
f(t)(5,1)=0 (mod 5) (tは0以上3以下の整数)
となっています
この予想を違う形にすると、
(p-1)Pn+(p-2)Pn+(p-3)Pn+……+(n+1)Pn+nPn=0 (mod p)
となります。ただしnは(p-1)未満の自然数で、aPb=a×(a-1)×(a-2)×(a-3)×……×(a-b+2)×(a-b+1)です
このことについて書かれたサイト・本などあれば是非教えて下さい。また、反例・証明を教えてやってもいいよーという方は是非教えてください
