通常でない和と積を定義して行列の体を作ることができるようなので投稿します。 まず、この記事で定義する和を巻和、積を巻積と呼ぶことにします。ネーミングに特に深い意味はないです。区別をしたほうが分かりやすいと思ったので名付けました。 これから二…

↓この記事の続きです。 mizumiya-umi.hatenablog.com ↑に貼った記事では、右！操作、左！操作というものを考えましたが、上！操作、下！操作というものもできることに気付きました。 要領は右！操作、左！操作のときと同じで、 (a b)(c d) という行列を、 (a…

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (a c)(b d) というように書くことにする。 a,b,dを自然数、cを0以上の整数、a≦b、c＜d、ad-bc=1とするとき、 a/bとc/dはいずれかのファレイ数列で隣…

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (x y)(z w) というように書くことにします。 pを素数とします。 mod pにおいて、 aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]の、一番長いループの長さと…

二次正方行列を (a b)(c d) というように書くことにします。三次以上の行列も同様に書くことにします。 (0 1)(1 1) や、 (0 0 1)(0 1 1)(1 2 1) や、 (0 0 0 1)(0 0 1 1)(0 1 2 1)(1 3 3 1)というような、パスカルの三角形のような数の並びをもつ正方行列と…

二次正方行列を (a b)(c d) という形で書くことにする mod 5において、 (0 0) (1 3) (3 4) (4 2) (2 1)(0 0) (4 2) (2 1) (1 3) (3 4) という5個の正方行列の集合は、 (0 0)(0 0)を加法の単位元、 (2 1)(3 4)を乗法の単位元とする体になることに気付きました…

nを自然数とする。 数列F[n]を、 F[0]=0,F[1]=1,F[n-1]+F[n]=F[n+1] と定義する。つまりF[n]はフィボナッチ数列です。 互いに素な自然数a,bを、 F[n-1]/F[n]+F[n]/F[n+1]=a/b と定義するとき、 a+b=F[2n+1] a-b=(F[n-1])^2 となっていると予想しました。 例…

a,b,cを自然数とする。 aとbのフィボナッチ積をa〇bと書くことにする。 (a〇(b+c))と(a〇b+a〇c)の差は、0かaかのどちらかに必ずなるのではないかと思いました。 普通の加法とフィボナッチ積の間に、分配法則のようなものが成り立っているのではないかと思っ…

九九の表のように、フィボナッチ積の表を七の段まで書いて眺めていたら思いついたことがあるので書きます。 nを自然数とする n番目のフィボナッチ数をF[n](ただし1=F[2]とする)とする また、aとbのフィボナッチ積をa〇bと書くことにする。 kを自然数とすると…

フィボナッチ積という概念のトリボナッチ数列版を考えてみました。 mizumiya-umi.hatenablog.com で書いたように、トリボナッチ数列から3つ以上連続しないように項を選び、和をとることで、すべての自然数を一意的に表せるだろうと予想しました。 この予想を…

a,b,c,d,e,fを a^2+b^2=c^2 d^2+e^2=f^2 となっているような自然数、つまりピタゴラス数とします。 更に、a,dを奇数、b,eを偶数、c,fを奇数として話を進めます。 実は、 n^2+( (a+d) /2)^2+( (b+e) /2)^2=( (c+f) /2)^2、 (ad+n^2)+(be+n^2)=(cf-n^2)+n^2 と…

pを素数とし、 m乗するとxになる数を(m)√(x)という表記で書くことにし、 kを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 g(0)=0 g(1)=1 (k)√(g(n)^k+g(n+1)^k)=g(n+2) で定義される数列g(n)と、 フィボナッチ数列のmod pでのループの長さが一致すると予想しまし…

pを素数とします。 m乗するとxになる数を、(m)√(x)という表記で書くことにします。 nを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 演算◇を、a◇b=(n)√(a^n+b^n)と定義するとき、 mod pにおける{0,1,2,……,p-1}という集合は、演算◇に関して位数pの巡回群になります…

pを素数とし、a,bをmod pで0でない整数とする。 以下の等式はすべてmod pで考える。 nを整数とする。 af(n)+bf(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1)=1で定義される一般フィボナッチ数列f(n)の、nを0より大きくしていき、最初にf(n)=0,f(n+1)=1となるようなnをf(n)のルー…

pを素数、nを2以上の自然数とします。 mod pにおけるある既約n次多項式の根を生成元とする乗法巡回群に0という元を含めたものが、元の個数がp^n個の体になるだろうと予想しました。 既約n次多項式の根であっても体になるような集合を作れないものもあります…

pを素数とし、 nを、pの倍数であり、p^2の倍数でない自然数とするとき、 mod nにおいて{0,n/p,2n/p,……,(p-1)n/p}という集合が体になることに気付きました。 具体例を書きます。 n=21,p=7、つまり、 mod 21において{0,3,6,9,12,15,18}という集合が体になるこ…

nを2以上の自然数、a,bを整数とする mod n^2において、 anとbnの和が(a+b)nになることと、(an+1)と(bn+1)の積が((a+b)n+1)になることが、似ていることに気付きました。 つまり、 {0,n,2n,……,(n-1)n} (mod n^2)という加法群と、 {1,n+1,2n+1,……,((n-1)n+1)}(m…

pを奇素数、nを2以上の自然数とする。 mod p^nの元のうち、pで割った余りが1になるようなものの集合は、乗法に関して位数p^(n-1)の巡回群になるようです。 例としてp=5,n=2、つまりmod 25のときをあげると 6^0=1 6^1=6 6^2=11 6^3=16 6^4=21 6^5=1=6^0 とな…

前回からの続きです。 ひとつ、複素ピタゴラス数の予想で間違っていることがあったので訂正させてください。 前回、前々回に書いた諸々の予想が当てはまらない例を見つけたので、実部虚部ともに正の整数になっている複素ピタゴラス数の組のみを考える、とい…

「複素ピタゴラス数」の続きです。 a,b,cを複素ピタゴラス数、つまりa^2+b^2=c^2となっているガウス整数とする。 「複素ピタゴラス数」のときと同様に、複素数xの実部を{x},虚部を[x]と書くことにする。 どんな複素ピタゴラス数a,b,cにも {a}^2+[a]^2-1=u^2 …

m,nを整数、i＝√(-1)とします m＋niの形で書ける複素数をガウス整数と言います さて、a,b,cをガウス整数とするとき、 a^2＋b^2＝c^2となっているならば、a,b,cを複素ピタゴラス数と呼ぶことにします 例えば、a＝4＋7i,b＝1＋4i,c＝4＋8iとするとき a^2＋b^2…

pを素数とする mod pにおいて、{a,b}というように、2つの整数の組を考える。 演算$を、 {a,b}${c,d}={ac+bd,ad+bc} と定義するとき、 mod pにおける2つの整数の組{a,b}(ただしa+b≠0,a-b≠0)の集合Zは演算$に関して、位数(p-1)^2の可換群になっていると予想し…

a[n]を0以上n以下の整数とするとき、 すべての自然数は a[1]×1!+a[2]×2!+a[3]×3!+a[4]×4!+…… の形で一意的に表せると予想しました。 !は階乗という意味で、n!=1×2×……×nという意味です。 小さい自然数の場合を見てみましょう。1!=1,2!=2,3!=6なのでそのように…

x,yを異なる4n+1型の素数とする。 どのようなx,yをとっても、 xy=a^2+b^2=c^2+d^2 となるような自然数a,b,c,dが存在します。 2xy=e^2+f^2=g^2+h^2 となるような自然数e,f,g,hも存在します。 それでは今回予想したことを書きます。 (a+c)と(b+d)の最大公約数…

(a b)(c d) という形で二次正方行列を表しているとします。(行列の出し方が分からないのでこうしてます。すみません) 行列式が1になるような(つまりad-bc=1となるような)、要素がすべて自然数の二次正方行列から、ある関係を持った分数を作れることに気付き…

nを0以上の整数とする。 (-2)^nの形で表せる数、つまり 1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,…… という数たちの和で、すべての整数を一意に表せると予想しました。 自然数のうち小さいものをこの和で表してみると、 1=1 2=-2+4 3=1-2+4 4=4 5=1+4 6=-2-8+16 7=1-2-8+16…

負数番目のフィボナッチ数列、つまり、 1,-1,2,-3,5,-8,13,-21,34,-55,…… という数列の、隣り合わない項の和で、すべての整数を一意的に表せるそうです。 Wikipediaの「ゼッケンドルフの定理」の項目に書いてある、「フィボナッチ積」という概念を負数番目の…

「フィボナッチのピラミッド」のトリボナッチ数列版です。 mizumiya-umi.hatenablog.com 1,1,2,4,7,13,24,44,81,……という数列をトリボナッチ数列と言います。連続する3つの項の和が次の項になっているような数列です。 トリボナッチ数列から一番最初の項の1…

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……と続いていく数列をフィボナッチ数列と呼びます。 1,1からはじまり、前のふたつの数を足したものが次の数になっています。 フィボナッチ数列から一番最初の項の1を除いたもの、 つまり 1,2,3,5,8,13,21,34,55…… という数列を考え…

ある三角形の三辺の長さi,j,kが、i^2+ij+j^2=k^2となっているとき、iとjの間の角は120度になっています。 また、ある三角形の三辺の長さd,e,fが、d^2-de+e^2=f^2となっているとき、dとeの間の角は60度になっています。 こうなっていることの証明は余弦定理を…