明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

二重ピタゴラス操作と行列 その2

「二重ピタゴラス操作と行列」の続きです。 (a,b,c)をピタゴラス数(つまりa^2+b^2=c^2)とし、 (-a,b,c)に二重ピタゴラス操作を行うことで現れるピタゴラス数を(a,b,c)のaの子、 (a,-b,c)に二重ピタゴラス操作を行うことで現れるピタゴラス数を(a,b,c)のbの子…

2組のピタゴラス数の積

まず1組のみのピタゴラス数で考えます。 a,b,cをピタゴラス数とすると、a^2+b^2=c^2から、 c^2+2ab=(a+b)^2 c^2-2ab=(a-b)^2が導けます。 同様にして、2組目のピタゴラス数をd,e,fとするとき cf+ae+bd,cf-ae-bdが平方数になることが導けます。 cf+ae+bdの…

ピタゴラス数の表における発見

ピタゴラス数の表とは今までの記事で頻繁に書いてきた、 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (75,100,125) (8…

2通りの二平方和をピタゴラス数から導く

タイトルの通りです。 自然数a,b,cを、ピタゴラス数、つまりa^2+b^2=c^2とするとき、 (a+c)^2+(b+c)^2=(a+b+c)^2+(a-b)^2 (a-c)^2+(b-c)^2=(a+b-c)^2+(a-b)^2 (a-c)^2+(b+c)^2=(a-b-c)^2+(a+b)^2 (a+c)^2+(b-c)^2=(a-b+c)^2+(a+b)^2 が成り立ちます。 証明は…

ピタゴラス数からの生成 その2

ピタゴラス数から、x^2+y^2+2n^2=z^2を満たす自然数x,y,z,nが現れることに気付きました。 2つのピタゴラス数の3つ組(a,b,c),(d,e,f)(ただしa,dは奇数、b,eは偶数)において、 (a+e,b+d,c+f)を計算すると、x,y,zが現れます。 例として(3,4,5)(7,24,25)をあげま…

ピタゴラス数からの生成

2組のピタゴラス数に演算を入れることで、3次ピタゴラス数や1つの数の2通りの2つの平方数の和の表し方が現れることに気付いたので投稿します。 まず例として、(3,4,5),(5,12,13)という2つのピタゴラス数で考えます。 2つのピタゴラス数の和をとると、 (3+5,4…

ピタゴラス数の表と平方 その2

前回の続きです。 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (75,100,125) (85,132,157) (63,16,65)(77,36,85)(91,6…

ピタゴラス数の表と平方

ピタゴラス数の表とは今までの記事で頻繁に書いてきたもののことです。 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (…

ピタゴラス操作と三次ピタゴラス数

「ピタゴラス数と倍数 その2」の続きです。 x^2+y^2+z^2=w^2を満たす互いに素な自然数x,y,z,wを三次ピタゴラス数の四つ組と呼ぶことにします。 ピタゴラス数の三つ組(a,b,c)にピタゴラス操作をして現れる三つ組(h,i,j)は、三次ピタゴラス数の四つ組の初めの…

二重ピタゴラス操作と行列

「ピタゴラス数と倍数 その2」の続きです。 (a,b,c)というピタゴラス数の三つ組に対して、t=2(a+b-c)とすると、 (t-a,t-b,t-c)のそれぞれの絶対値をとったものはピタゴラス数の三つ組になるのでした。 この操作は二回ピタゴラス操作を行うことともとれるの…

ピタゴラス数と倍数 その2

「ピタゴラス数と倍数」の続きです。 前回はピタゴラス数の三つ組a,b,cに対してah+bi=cjを満たす自然数h,i,jについて考えていました。 h+i+j=cとなっているようなh,i,jがどのようなピタゴラス数の三つ組a,b,cに対しても必ず存在することを証明できたので投稿…

ピタゴラス数と倍数

ピタゴラス数の三つ組a,b,cに対してah+bi=cjを満たす自然数h,i,jを考えていきます。 例えばa=3,b=4,c=5のとき、3×2+4×1=5×2なので、h=2,i=1,j=2はh,i,jのひとつの解です。 「ピタゴラス数の平方と和・差」で書いた c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,4…

ピタゴラス数の平方と和・差

「ピタゴラス数の平方と積」で書いた表に書き加えたもので考えます。 c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) c-b=3^2 (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) c-b=5^2 (35,12,37) (45,28,53) (…

ピタゴラス数の平方と積

「ピタゴラス数の平方と比」で書いた表を流用します。 c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) c-b=3^2 (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) c-b=5^2 (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) c-b=7^…

ピタゴラス数の平方と比

「ピタゴラス数の平方から現れる九九の表」で書いた表を元に考えます。 c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) c-b=3^2 (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) c-b=5^2 (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (…

ピタゴラス数の平方から現れる九九の表

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 (c-b)の値でピタゴラス数の組を行で分けてみようと思います。 c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) …

ピタゴラス数の平方から現れる三角数

基本的に「ピタゴラス数と平方 その2」と似た内容です。 a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 今回は(c-a)/2でピタゴラス数たちをカテゴリー分けしてみようと思います。すべての…

ピタゴラス数と平方 その2

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 前回書いたように、b+cは平方数になります。 b+cの値でピタゴラス数たちをカテゴリー分けしてみようと思います。とりあえずb+c=13^2まで。 a…

ピタゴラス数と平方

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 本題に入ります。 c+b,c-b,(c+a)/2,(c-a)/2はすべて必ず平方数になります。 証明は簡単で、 m,nを自然数とするとき、 a=m^2-n^2 b=2mn c=m^2…

一組のピタゴラス数から新たなピタゴラス数を導く

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cをピタゴラス数と言います。 これからa,b,cを3つ組のピタゴラス数と呼ぶことにします。 たとえば3^2+4^2=5^2なので、3,4,5は3つ組のピタゴラス数です。 自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすとし、a