明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形の総和

まずパスカルの三角形を書きます。 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 これを、頂点が入るように菱形状にくり抜き、和をとって1を足す…

パスカルの三角形と2乗

パスカルの三角形の、一つの行にあるすべての数をそれぞれ2乗して和をとると、ある行の真ん中にある数になることに気付きました。 ↓はパスカルの三角形です 1 11 121 1331 14641 15101051 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 5…

aのべき乗が現れるパスカルの三角形

(普通のパスカルの三角形からフィボナッチ数列を取り出すときのように)斜めに足していくことでaのべき乗が現れるようなパスカルの三角形を思いつきました。 まず、a=2、つまり2のべき乗の場合から見てみます。 左上の数の倍と右上の数の和が下の数になるよう…

k角数系で構成されるパスカルの三角形

1次k角数、2次k角数、3次k角数、……を総称してk角数系と呼ぶことにします。 普通のパスカルの三角形は、3角数系で構成されています。 1 11 121 1331 14641 1510 1051 1 6 15 20 15 6 1 各行の一番左の数は0次三角数、左から2番目の数は1次…

n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形

下の図のような、奇数を並べた三角形を考えます 1 3 1 5 3 1 7 5 3 1 9 7 5 3 1 11 9 7 5 3 1 「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」で書いたように左下から右上へ数を足すと、 この図から三角数を取り出すことができるらしいと気付きました 実…

少し変形させたフィボナッチ数列に対応する少し変形させたパスカルの三角形

フィボナッチ数列を変形させたものに、パスカルの三角形を変形させたものを対応させることができました その変形させたフィボナッチ数列は f(n)+f(n+1)+1=f(n+2) f(0)=0, f(1)=1 で定義されるf(n)です 前の2個の数を足したものに+1したものが次の…

3-パスカルの三角形の隠れた規則

松田修、津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」を参考にしました k-パスカルの三角形という発想はこの著作から引用させていただきました 3-パスカルの三角形とは、上の3個の数を足して下の数を作ってできるパスカルの三角形で…

パスカルの三角形の隠れた規則

パスカルの三角形から隣り合う2つの数を選ぶとき、 その2つの数の真下や右下や左下に並ぶ2つの数の組たちに、規則性があると気付きました ただし、2つの数の組が互いに素でない場合は、互いに素になるよう最大公約数で割ります 例を挙げていきます まず…

k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形

松田修、津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」 細矢治夫著「トポロジカル・インデックス(日本評論社)」 を参考にさせていただきました まず、通常のフィボナッチ数列とパスカルの三角形の対応について書きます フィボナッチ数…