明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

三角数系やパスカルの三角形の比例

三角数系は僕の造語なので説明すると

三角数を一般次元まで拡張したものの総称です。

三角数は、小さい順に並べると

1,3,6,10,15,21,28,……

というもので、隣り合う項の差をとると

1,2,3,4,5,6,7,……

自然数の列になります。

 

通常の三角数を2次三角数と呼ぶことにします。

k次三角数の、1項目から各項までの和をそれぞれとったものを

k+1次三角数と定義します。

3次三角数は  1,4,10,20,35,56,84,……

4次三角数は  1,5,15,35,70,126,210,……

となります。次数を下げたものを見ると

1次三角数は  1,2,3,4,5,6,7,……

0次三角数は  1,1,1,1,1,1,1,……

-1次三角数は  1,0,0,0,0,0,0,……

-2次三角数は  1,-1,0,0,0,0,0,……

-3次三角数は  1,-2,1,0,0,0,0,……

-4次三角数は  1,-3,3,-1,0,0,0,……

となります

-n次三角数は、

パスカルの三角形のn行目に一つおきに負の符号をつけたものと、同じになるようです。

 

それぞれのk次三角数で、掛けると次の項になるような数を並べていくと、どうやら比例になっていることに気付きました。

掛けると次の項になるような数を並べていくと

0次三角数は  ×1,×1,×1,×1,×1,×1,……

1次三角数は  ×2,×3/2,×4/3,×5/4,×6/5,×7/6,……

2次三角数は  ×3,×2,×5/3,×3/2,×7/5,×4/3,……

3次三角数は  ×4,×5/2,×2,×7/4,×8/5,×3/2,……

4次三角数は  ×5,×3,×7/3,×2,×9/5,×5/3,……

となり、縦の列で見ると比例になっています。

1列目は1ずつ、2列目は1/2ずつ、3列目は1/3ずつ、

n列目は1/nずつ値が増えていっています。

 

この比例を負の次数まで考えて、負の次数の三角数に当てはめてみても矛盾なかったです。

 

負の次数の三角数パスカルの三角形と似ているので、

パスカルの三角形の各行で、掛けると次の項になるような数を並べても比例になっているようです。

楽しいね!

 

以上です! お読みいただきありがとうございました!

 

等比と小数点

無限等比級数の公式より

-1<r<1とするとき

1+r+r^2+r^3+r^4+……=1/(1-r)です。

例としてr=1/2を考えると

1+1/2+1/4+1/8+1/16+……=1/(1-1/2)=1/(1/2)=2

となり、これは2進数で

1.11111111……=10

と書けます。

 

さて、r=0.1×s(-10<s<10)とすると

1+(0.1×s)+(0.1×s)^2+(0.1×s)^3+(0.1×s)^4+……=1/(1-(0.1×s))=10/(10-s)

となり、両辺に0.1をかけると

0.1+0.01×s+0.001×s^2+0.0001×s^3+……=1/(10-s)

となります。

 

Aという実数の

10進数表記した際の整数部分をa[0]、小数点第n位をa[n]とし

{a[0],a[1],a[2],a[3],……}とAを表記することにします。

さっき書いた

0.1+0.01×s+0.001×s^2+0.0001×s^3+……=1/(10-s)

はこの表記を使って

{0,1,s,s^2,s^3,……}=1/(10-s)

と書けます。

 

sに2を代入すると

{0,1,2,4,8,……}=1/8=0.125

となり

整数部分が0、小数点第n位が2^(n-1)の数は

1/8(=0.125)になることが分かります。

同様に、整数部分が0、小数点第n位が3^(n-1)の数は

1/7になると分かります。

1/7は0.14285714285714……と小数点以下で142857を循環するので

3の累乗を繰り上げていくと、142857の循環が生まれることが分かりました。

最後に、sに-1を代入してみると

{0,1,-1,1,-1,……}=1/11

となり、1/11=0.09090909……なので確かに負の数でもこの等式は成立しています。

 

無限等比級数の公式は有名ですが

小数点で考えると楽しいなと思いました。

以上です お読みいただきありがとうございました!

1が並んだ数同士のかけ算 その2

前回の記事

mizumiya-umi.hatenablog.com

ではレピュニット数(1のゾロ目になっている数)同士の2つのかけ算を考えました。

今回は主に3つ以上のレピュニット数のかけ算を考えます。

 

この記事では桁の中が10以上になって繰り上がるのを避けるため

125を{1,2,5}

と表記し、桁の間にコンマを入れることにします。

このように表記した数同士のかけ算は

以前の記事『数列の環』で定義した数列の積(かけ算)と同一視できます

mizumiya-umi.hatenablog.com

 

では、まず3つのレピュニット数のかけ算をします。

{1,1}×{1,1}、つまり{1,2,1}をレピュニット数にかけていくと

{1,1}×{1,2,1}={1,3,3,1}

{1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,3,1}

{1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,3,1}

{1,1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,4,3,1}

{1,1,1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,4,4,3,1} 

となり、{1,1,1}以上のレピュニット数にかけると

「両端が1、端から2番目が3、それより内側が4」になるようです。

 

簡潔にするため、aがb個並んでいたなら[a○b]と書くことにします。

例えば{a,a,a,a}={[a○4]}とします。

{a,b,b,b,c,d}={a,[b○3],c,d}というように

部分でも並んでいればこの記号で短縮します。

 

さて、nを自然数とするとき

{[1○(n+2)]}×{1,2,1}={1,3,[4○n],3,1}

と表記できます。

さらに、121=11×11=11^2(^はべき乗という意味)なので、

{1,2,1}は{1,1}^2と書け、さらに{[1○2]}^2とも書けるので

{[1○(n+2)]}×{[1○2]}^2={1,3,[4○n],3,1}

と書けます。

mを自然数とするとき

レピュニット数に11^m(つまり{[1○2]}^m)をかけたものを順に確かめていくと

{[1○(n+3)]}×{[1○2]}^3={1,4,7,[8○n],7,4,1}

{[1○(n+4)]}×{[1○2]}^4={1,5,11,15,[16○n],15,11,5,1}

{[1○(n+5)]}×{[1○2]}^5={1,6,16,26,31,[32○n],31,26,16,6,1}

となるようです。

{[1○(n+m)]}に{[1○2]}^m をかけると、両端からm個内側には2^mがn個並ぶみたいですね!

 

{[1○2]}^mの次に{[1○3]}^mを考えてみると

 {[1○(n+2)]}×{[1○3]}^1={1,2,[3○n],2,1}

 {[1○(n+4)]}×{[1○3]}^2={1,3,6,8,[9○n],8,6,3,1}

 {[1○(n+6)]}×{[1○3]}^3={1,4,10,17,23,26,[27○n],26,23,17,10,4,1}

 {[1○(n+8)]}×{[1○3]}^4={1,5,15,31,50,66,76,80,[81○n],80,76,66,50,31,15,5,1}

となり

{[1○(n+2m)]}に{[1○3]}^m をかけると、両端から2m個内側に3^mがn個並ぶようです。

 

kを自然数として一般に{[1○k]}^mを考えた場合

{[1○(n+(k-1)m)]}に{[1○k]}^m をかけると、

両端から(k-1)m個内側にk^mがn個並ぶんじゃないかと思います。

 

なんだか、ゾロ目を見る目が変わってきますね!

以上です! お読みいただきありがとうございました!

1が並んだ数同士のかけ算

11や111や1111など、どの桁も1の自然数をレピュニット数と呼ぶそうです

レピュニット数同士のかけ算で思いついたことを書きます

 

レピュニット数たちに11をかけてみると、

11×11=121

111×11=1221

1111×11=12221

11111×11=122221

111111×11=1222221

となり、

両端の桁が1、内側の桁が2になっています

 

次にレピュニット数たちに111をかけると、

11×111=1221

111×111=12321

1111×111=123321

11111×111=1233321

111111×111=12333321

となり、

111以上のレピュニット数にかけたときは、

両端が1、端から2番目が2、それより内側が3になっています

 

レピュニット数たちに1111をかけると

11×1111=12221

111×1111=123321

1111×1111=1234321

11111×1111=12344321

111111×1111=123444321

となり、

1111以上のレピュニット数にかけたときは、

両端が1、端から2番目が2、端から3番目が3、それより内側が4になっています

 

これらの例から考えられるように、

 1がn個並んだレピュニット数を[n]レピュニット数と呼ぶことにし、m≧nとするとき、

[m]レピュニット数に[n]レピュニット数をかけると、

両端から(n-1)番目までは(n-1)で、それより内側はnになっているようです

(桁の数が10以上になって繰り上がることは、いったん置いています)

 

 単純ですが、楽しいなと思います

お読みいただきありがとうございました!

1行目を自由にしたパスカルの三角形の性質

パスカルの三角形の1行目にどのような数をいくつ配置しても、

「隣り合う数の和を下に置く」ことさえ守れば成立する性質を見つけました。

それは

「n行目のそれぞれの数に、n+1行目にある右斜め下の数を掛けて、和をとったもの」と

「n行目のそれぞれの数に、n+1行目にある左斜め下の数を掛けて、和をとったもの」

の値が同じになるという性質です。

 

例として、-2と1を1行目に置いたパスカルの三角形(この記事では〈-2,1〉三角形と呼ぶことにする)を考えます。


-2 1
-2 -1 1
-2  -3 0 1
-2 -5 -3  1  1

 

 1行目の-2と1に2行目にある右斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-1)+1×1=3 で、

1行目の-2と1に2行目にある左斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-2)+1×(-1)=3 と一致します。

 

2行目の-2と-1と1に3行目にある右斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-3)+(-1)×0+1×1=7 で、

2行目の-2と-1と1に3行目にある左斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-2)+(-1)×(-3)+1×0=7 と一致します。

 

3行目の-2と-3と0と1に4行目にある右斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-5)+(-3)×(-3)+0×1+1×1=20 で、

3行目の-2と-3と0と1に4行目にある左斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-2)+(-3)×(-5)+0×(-3)+1×1=20 と一致します。

 

証明します。

n行目に左から順に

a[1],a[2],……,a[k]

というk個の数が並んでいるとします。

このとき、n+1行目には左から順に

a[1] ,a[1]+a[2] ,a[2]+a[3] ,……,a[k-1]+a[k] ,a[k]

というk+1個の数が並びます。

 

ここで、n行目のそれぞれの数にn+1行目にある右斜め下の数を掛けて和をとると

a[1](a[1]+a[2]) +a[2](a[2]+a[3]) +……+a[k-1](a[k-1]+a[k]) +a[k]a[k]

=(a[1]^2+a[2]^2+……+a[k]^2) + (a[1]a[2]+a[2]a[3]+……+a[k-1]a[k])

 

n行目のそれぞれの数にn+1行目にある左斜め下の数を掛けて和をとると

a[1]a[1]+a[2](a[1]+a[2])+a[3](a[2]+a[3])+……+a[k](a[k-1]+a[k])

=(a[1]^2+a[2]^2+……+a[k]^2) + (a[1]a[2]+a[2]a[3]+……+a[k-1]a[k])

と同じ値になったので、真であると示せました。

 

 

また、「n行目のそれぞれの数にn+2行目にある真下の数を掛けて和をとったもの」は

「n行目のそれぞれの数にn+1行目の右斜め下の数を掛けて和をとったもの」の2倍になります。

〈-2,1〉三角形でみると、

1行目の-2と1に、3行目にある真下の数を掛けて和をとると、

(-2)×(-3)+1×0=6

2行目の-2と-1と1に、4行目にある真下の数を掛けて和をとると、

(-2)×(-5)+(-1)×(-3)+1=14

と、確かに「右斜め下の数を掛けて和をとったもの」の2倍になっています。

 

証明を書きます。

n行目に左から順にa[1],a[2],……,a[k]

というk個の数が並んでいるとします

このとき、n+1行目には左から順に

a[1] ,a[1]+a[2] ,a[2]+a[3],……,a[k-1]+a[k] ,a[k]

というk+1個の数が並び、

n+2行目には左から順に

a[1] ,2a[1]+a[2] ,a[1]+2a[2]+a[3] ,a[2]+2a[3]+a[4],…

…,a[k-2]+2a[k-1]+a[k] ,a[k-1]+2a[k] ,a[k]

というk+2個の数が並びます。

n行目のそれぞれの数に、n+2行目にある真下の数を掛けて和をとると、

a[1](2a[1]+a[2])+a[2](a[1]+2a[2]+a[3])+a{3}(a[2]+2a[3]+a[4])+…

…+a[k-1](a[k-2]+2a[k-1]+a[k])+a[k](a[k-1]+2a[k])

=2(a[1]^2+a[2]^2+……+a[k]^2) + 2(a[1]a[2]+a[2]a[3]+……+a[k-1]a[k])

となって

「n行目のそれぞれの数にn+1行目にある右斜め下の数を掛けて和をとったもの」の2倍になることが分かり、証明できました

 

ちなみに、一番最初に書いた性質は一般化できるようです

「n行目のそれぞれの数に、n+m行目の右斜め下の数を掛けて、和をとったもの」と

「n行目のそれぞれの数に、n+m行目の左斜め下の数を掛けて、和をとったもの」

の値が同じになるようです。

 

〈-2,1〉三角形で、m=2の場合を見てみましょう。

1行目の-2と1に3行目の右斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×0+1×1=1で、

1行目の-2と1に3行目の左斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-2)+1×(-3)=1と一致します。

 

2行目の-2と-1と1に4行目の右斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-3)+(-1)×1+1×1=6で、

2行目の-2と-1と1に4行目の左斜め下の数を掛けて和をとると

(-2)×(-2)+(-1)×(-5)+1×(-3)=6と一致します。

 

また、「隣り合う3つの数の和を下に置く」というルールに変えたパスカルの三角形において、1行目にどのような数をいくつ配置しても、

「n行目のそれぞれの数に、n+m行目の右斜め下の数を掛けて、和をとったもの」と

「n行目のそれぞれの数に、n+m行目の左斜め下の数を掛けて、和をとったもの」

の値が同じになる性質は成り立つようです。

 

一般化した「隣り合うx個の数の和を下に置く」というルールのパスカルの三角形でもこれらのことが成立していたら楽しいな、と思います

以上です お読みいただきありがとうございました!

n次元の四角形と、パスカルの三角形

前回の記事、

mizumiya-umi.hatenablog.com

と同じものを、n次元の四角形で考えてみました。

結論としては、

n次元の四角形を構成する0次元以上n次元以下の四角形の個数を並べたものは、

「n行目が21の(n-1)乗になっている」ようなパスカルの三角形と一致するみたいです。

 

n次元の四角形のnが小さいものを具体的に書くと

0次元の四角形は点、

1次元の四角形は線分、

2次元の四角形は(通常の)四角形、

3次元の四角形は直方体、

です。

 

n次元の四角形を[n]と略すことにすると

[0]は[0]が1つで構成、

[1]は[0]が2つ、[1]が1つで構成、

[2]は[0]が4つ、[1]が4つ、[2]が1つで構成、

[3]は[0]が8つ、[1]が12つ、[2]が6つ、[3]が1つで構成されていて、

 


21
4 4 1
8  12 6 1

 

と、「n行目が21の(n-1)乗になっている」ようなパスカルの三角形のはじめの方と一致した並びになります。

「n行目が21の(n-1)乗になっている」ようなパスカルの三角形とは、右上の2倍と左上を足した値を下に書いていくことでできる三角形です。

 

n次元の五角形などにも同様のものがあれば面白いですが、僕はまだ分かりません。そもそも、3次元の五角形というものを想像できていないです。

いつか、なにかの拡張ができたらいいなと思います。

 

以上です。お読みいただきありがとうございました!

n次元の三角形と、パスカルの三角形

n次元の三角形を構成する-1次元以上n次元以下の三角形の個数を並べたものが、パスカルの三角形と同じになるらしいことに気付きました。

構成という言葉は、

三角形は、頂点3つと、線分3つと、面1つで構成されている。

というような意味合いで使っています。

 

書くのが大変なので、n次元の三角形を[n]三角形と書きます。

 

[n]三角形のnが小さいものを具体的に書くと、

[-1]三角形は無、

[0]三角形は点、

[1]三角形は線分、

[2]三角形は(通常の)三角形、

[3]三角形は四面体、

[4]三角形は五胞体、

です。

n次元の三角形を、nより小さい次元の三角形で構成されているものと定義した、という感じです。

 

-1次元は、僕が勝手に定義したものなので、説明します。

空間(3次元)にいる人が見る世界は平面(2次元)です。平面(2次元)にいる人は、世界が線(1次元)に見えるでしょう。線(1次元)にいる人は、世界が点(0次元)に見えるはずです。

なので、点(0次元)にいる人が見ている世界、無、を-1次元と定義しました。

 

-1次元の説明として、n次関数の微分を考えても面白いです。

2次関数y=ax^2+bx+cを微分すると、1次関数y=2ax+bになります。

1次関数y=2ax+bを微分すると、0次関数y=2aになります。

ここで更に、0次関数y=2aを微分すると、y=0となり、これより先は微分しても変化しません。

-1次関数を、このy=0のようなものと定義してみたということです。

 

では、実際にパスカルの三角形と同じになるかを見てみます。

屁理屈に近いですが、[n]三角形の構成には[-1]三角形が1つだけ組み込まれている、つまりどの次元にも「無い」が常に1つだけある、ということにします。

見やすくする為に、[n]三角形を[n]と省略して書くことにします。

 

[-1]は、[-1]が1つで構成されています。

[0] は、[-1]が1つ、[0]が1つで構成されています。

[1] は、[-1]が1つ、[0]が2つ、[1]が1つで構成されています。

[2] は、[-1]が1つ、[0]が3つ、[1]が3つ、[2]が1つで構成されています。

[3] は、[-1]が1つ、[0]が4つ、[1]が6つ、[2]が4つ、[3]が1つで構成されています。

3次元まで、パスカルの三角形と一致しています!

 

関連した、面白いと感じたことを書きます。

パスカルの三角形の、各行の端から見て三番目の数は、三角数です。

三角数とは、1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,……と続く数で、

ボウリングのピンのように三角形状に物を並べたときの個数です。

パスカルの三角形のk行目までの数の個数が、k番目の三角数だ、と考えても良いです。

これを今回の内容と結び合わせて考えると、n次元の三角形を構成する線分([1]三角形)の個数が、n番目の三角数になるのです!

三角形に関係した別の個数が同じ数になることを不思議に思います。

 

以上です。お読みいただきありがとうございました!

打ち消しあうパスカルの三角形とカタラン数 その2

前回と同様

 

-1 1
-1 0 1
-1-1  1 1
-1 -2 0  2 1
-1 -3 -2   2  3  1
-1  -4  -5  0  5  4  1
-1 -5  -9  -5  5  9  5  1
-1 -6 -14 -14 0 14 14 6 1

 

という図とカタラン数の関係について考えます

 

各行の一番中央に近い右側の数はカタラン数になっているようです。

 

中央より右側の正の数たちに、以前の記事

mizumiya-umi.hatenablog.com

 での計算と同様の操作をすると、カタラン数が表れるようです。

 

例えば、4行目の(中央より右側の)それぞれの数にその真下の6行目の数を掛けて足し合わせると、
8行目の一番中央に近い右側の数(カタラン数でもある数)が表れます。

2×5+1×4=14

 

また

mizumiya-umi.hatenablog.com

での計算を今回の図の(中央より右側だけでなく)全体にしても、カタラン数が表れるみたいです。

 

例えば、6行目のそれぞれの数に右斜め下にある数を掛け、足し合わせるとカタラン数132になります

(-1)×(-5)+(-4)×(-9)+(-5)×(-5)+0×5+5×9+4×5+1×1=132

 

面白いですね!

お読みいただきありがとうございました!

打ち消しあうパスカルの三角形とカタラン数

 

一番上に-1と1を配置し、パスカルの三角形のように計算して数を配置してみます

(隣り合う2つの数の和を下に配置する、という計算です)

 

-1 1
-1 0 1
-1-1  1 1
-1 -2 0  2 1
-1 -3 -2   2  3  1
-1  -4  -5  0  5  4  1
-1 -5  -9  -5  5  9  5  1

 

 中央より左は負の数、中央は0、中央より右は正の数になっています。

正の数(中央より右の数)たちをそれぞれ2乗し、各行で和をとるとカタラン数が表れるらしいことに気付きました。

 

1行目  1^2=1

2行目  1^2=1

3行目  1^2+1^2=2

4行目  2^2+1^2=5

5行目  2^2+3^2+1^2=14

6行目  5^2+4^2+1^2=42

7行目  5^2+9^2+5^2+1^2=132

 

 不思議だな、と思います。

お読みいただきありがとうございました!

パスカルの三角形と分数

パスカルの三角形の、n行m列目を分子、n+a行m列目を分母にしてできた分数を足し合わせたものは、nだけを大きくしていくと一定量ずつ大きくなっていくようです。

(n行は上からみてn番目の場所、m列は左からみてm番目の場所という意味です。また、数のない場所は0として扱います。)

 

11
121
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5  10   10  5 1
1   6  15  20  15  6  1
1  7  21  35  35  21  7  1
1  8  28  56  70  56  28  8  1
1  9  36  84  126 126  84  36  9  1

 

例として、まずa=1のときを見てみましょう

n=1のとき、1/1=1

n=2のとき、1/1+1/2=3/2

n=3のとき、1/1+2/3+1/3=2

n=4のとき、1/1+3/4+3/6+1/4=5/2

n=5のとき、1/1+4/5+6/10+4/10+1/5=3

と、1/2ずつ増加していきます。

 

a=2のときは、

n=1のとき、1/1=1

n=2のとき、1/1+1/3=4/3

n=3のとき、1/1+2/4+1/6=5/3

n=4のとき、1/1+3/5+3/10+1/10=2

n=5のとき、1/1+4/6+6/15+4/20+1/15=7/3

と、1/3ずつ増加していきます。

 

一般にaを固定した場合、1/(a+1)ずつ増加するのではないか、と思っています。

 

このことは、拡張もできるだろうなと思っています。

例えば上のパスカルの三角形を「n行目が11の(n-1)乗になっている」ととるとき、

「n行目が12の(n-1)乗になっている」ようなパスカルの三角形でも、同様のことが成り立っているようです。

以上です! お読みいただきありがとうございました!