パスカルの三角形にある計算をすると、カタラン数が表れるらしいことに気付きました。
カタラン数は、小さい順に並べると
1,1,2,5,14,42,132,……
という数たちです。詳しくは検索してみて下さい
1
11
121
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
というパスカルの三角形の各行の数に、右斜め下にある数を掛けて、その掛けた数たちを足し合わせます
1行目は1×1=1
2行目は1×2+1×1=3
3行目は1×3+2×3+1×1=10
4行目は1×4+3×6+3×4+1×1=35
5行目は1×5+4×10+6×10+4×5+1×1=126
6行目は1×6+5×15+10×20+10×15+5×6+1×1=462
7行目は1×7+6×21+15×35+20×35+15×21+6×7+1×1=1716
となり、表れたn行目の数を(2n-1)で割る(例えば4行目なら2×4-1=7で割る)と
1,1,2,5,14,42,132
となり、カタラン数が表れました。
証明はできていません。証明できた方や証明を知っている方いたら、教えて頂けると嬉しいです
お読みいただきありがとうございました!