(x+1)^0,(x+1)^1,(x+1)^2,(x+1)^3,………を並べると、
1
x +1
x^2 +2x +1
x^3 +3x^2 +3x +1
x^4 +4x^3 +6x^2 +4x +1
………
となります。
この図の一番左の項たちを縦に読むと、
1+x+x^2+x^3+x^4+……
となり、左から二番目の項たちを同様に読むと、
1+2x+3x^2+4x^3+……
左から三番目の項たちは、
1+3x+6x^2+……
となります。
ここで面白いことが言えます。
#=1+x+x^2+x^3+x^4+…… と#を定義すると、
左からn番目の項を縦に読んだものは#^nと等しくなります。
♪=x+1 と♪を定義すると、m行目を♪^(m-1)と表せることも含めて考えると、
この図では、m行目は♪^(m-1)に、n列目は#^nに等しくなっていることが分かります。
微分を考えても面白いです。
(m+1)行目を微分するとm行目のm倍が現れ、
n列目を微分すると(n+1)列目のn倍が現れます。
つまり、微分を'で表すことにすると、
(♪^m)'=m×♪^(m-1)
(#^n)'=n×#^(n+1)
となっているということです。
面白いなぁと感じます。
以上です！ お読みいただきありがとうございました！
