明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

n次式と数列上の積

前回の記事、

mizumiya-umi.hatenablog.com

の続きです。

 

前回同様、#という記号を

#={1,1,1,1,……}

という数列だと定義することにします。

 

関数f(x)に対して、数列[f(x)]を

[f(x)]={f(0),f(1),f(2),f(3),……}

と定義します。

 

f(x)がn次式のとき、[f(x)]をどのような数列の積で表せるかを見ていきます。

 

f(x)が1次式のとき。

f(x)=ax+bとおくと、

[f(x)]=#^2×{b,a-b}

となっているようです。

 

f(x)=ax^2+bx+c、つまりf(x)が2次式のときは

[f(x)]=#^3×{c,a+b-2c,a-b+c}

というように、

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d、つまりf(x)が3次式のときは

[f(x)]=#^4×{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}

というようになっているようです。

 

ここで右辺に現れた有限の長さの数列に、規則がありそうなことに気付きました。

すべての項の和をとると、aの倍数になりそうなのです。

{b,a-b}→b+(a-b)=a

{c,a+b-2c,a-b+c}→c+(a+b-2c)+(a-b+c)=2a

{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}→d+(a+b+c-3d)+(4a-2c+3d)+(a-b+c-d)=6a

 

また、a以外の文字の係数の絶対値は、パスカルの三角形に現れる数になっているようです。

実際に{d,a+b+c-3d,4a-2c+3d,a-b+c-d}の、dの係数の絶対値を並べてみると、

1,3,3,1

と、パスカルの三角形の4行目が表れました。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!