a,b,cを既約ピタゴラス数、つまり、
a^2+b^2=c^2となるような既約な自然数とします。
また、aを奇数、bを偶数とします。
A^2+B^2=C^2となるような二次正方行列A,B,Cを、ピタゴラス二次行列と呼ぶことにします。
ピタゴラス二次行列を、ピタゴラス数から作れることに気付きました。
a=2x+1
b=2y
c=2z+1
とするとき、
Aを、
(x x+1)
(x+1 x )
Bを、
(y y )
(y y )
Cを、
(z z+1)
(z+1 z )
とすると、これらがピタゴラス二次行列になるのです。
実際に計算し、真であることを確かめます。
A^2は
(2x^2+2x+1 2x^2+2x )
(2x^2+2x 2x^2+2x+1)
B^2は
(2y^2 2y^2 )
(2y^2 2y^2 )
C^2は
(2z^2+2z+1 2z^2+2z )
(2z^2+2z 2z^2+2z+1)
なので、A^2+B^2=C^2が真であるには、
2x^2+2x+1+2y^2=2z^2+2z+1……①
2x^2+2x+2y^2=2z^2+2z……②
のふたつが真であればよく、
a^2+b^2=c^2から、(2x+1)^2+(2y)^2=(2z+1)^2が分かり、これを展開し整理すると、
x^2+x+y^2=z^2+zとなるので、①②が真であることが分かり、A,B,Cがピタゴラス二次行列になることが確かめられました。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
