↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。
二次正方行列を
(x y)
(z w)
というように書くことにします。
pを素数とします。
mod pにおいて、
aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]の、一番長いループの長さと、
(0 1)
(a b)の位数の長さが一致するようです。
なぜなら、
(0 1) (0 1)^k
(a b)のk乗を(a b) と書くことにし、
(x)
(y)を縦ベクトルとするとき、
(0 1)^k (F[n] ) (F[n+k] )
(a b) ×(F[n+1])=(F[n+k+1])
となっていて、
(F[n] ) (F[n+k] )
(F[n+1]) = (F[n+k+1])
つまり、F[n]=F[n+k],F[n+1]=F[n+k+1]となるのは、F[n]のループの長さの値なので、
kがF[n]のループの長さの値になるとき、
(0 1)^k
(a b) が単位行列になることが分かり、
aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]を満たすF[n]の、一番長いループの長さと
(0 1)
(a b)の位数の長さが一致することが分かりました。
さて、上に貼った記事に書いたように、
aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]のループの長さと、
a+bx=x^2を満たすxの位数が一致すると前に予想しました。
この予想と、今回言ったことを合わせて考えて、
a+bx=x^2を満たすxの位数と、
(0 1)
(a b)の位数の長さが一致するのではないかと思いました。(ただしa≠0)
a+bx=x^2を満たすxの位数がp^2-1のとき、xを生成元とする乗法群に0を加えた集合が体になるのと、
(0 1)
(a b)の位数がp^2-1になるとき、
(0 1)
(a b)を生成元とする乗法群に零行列を加えた集合が体になることが対応しているのではないかと思いました。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
