pを素数とします。
m乗するとxになる数を、(m)√(x)という表記で書くことにします。
nを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。
演算◇を、a◇b=(n)√(a^n+b^n)と定義するとき、
mod pにおける{0,1,2,……,p-1}という集合は、演算◇に関して位数pの巡回群になります。
具体例で、巡回群であることの証明のしかたを書きます。
p=5,n=3のとき、つまり、mod 5における演算a◇b=(3)√(a^3+b^3)を見てみます。
この先すべての等式はmod 5であるとします。
まず、
a◇0=(3)√(a^3)=a,0◇a=(3)√(a^3)=aなので、0が単位元です。
逆元があることの証明は、
どんなaにもa◇b=0となるようなbが存在することが示せればよく、
それはつまりa^3=-b^3ということなので、存在します。
次に結合法則が成立していることを確認します。
(a◇b)◇c=(3)√(a^3+b^3)◇c=(3)√(a^3+b^3+c^3)
a◇(b◇c)=a◇(3)√(b^3+c^3)=(3)√(a^3+b^3+c^3)
となるので、
(a◇b)◇c=a◇(b◇c)であることが分かり、結合法則が確かめられました。
よって群になります。
次に巡回群になることを見ていきます。
任意の0でない元aを演算◇でつなげていくとき、
aをp個つなげないと0にならないことが示せたら示せます。
実は
a◇a=(3)√(2)×a
a◇a◇a=(3)√(3)×a
というように、aを演算◇でk個つないだものは(3)√(k)×aとなるのです。
このことから、aをp個つなげないと0にならないことが分かります。
一般の場合も同様にして、巡回群であることが示せます。
また、演算◇を加法、通常のかけ算を乗法とすると、この集合は体になります。
分配法則だけ見てみます。
(a◇b)×c=(3)√(a^3+b^3)×c
(ac)◇(bc)=(3)√((ac)^3+(bc)^3)=(3)√(a^3+b^3)×c
より、分配法則が確かめられました。
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