pを素数とする
mod pにおいて、{a,b}というように、2つの整数の組を考える。
演算$を、
{a,b}${c,d}={ac+bd,ad+bc}
と定義するとき、
mod pにおける2つの整数の組{a,b}(ただしa+b≠0,a-b≠0)の集合Zは演算$に関して、位数(p-1)^2の可換群になっていると予想しました。
可換であることは
{a,b}${c,d}={ac+bd,ad+bc}
{c,d}${a,b}={ca+db,ab+da}={ac+bd,ad+bc}
となることから分かります。
単位元は{1,0}です。
逆元があることの証明はできていません。
結合法則を満たすことは、
{a,b}$({c,d}${e,f})={a,b}${ce+df,cf+de}={ace+adf+bcf+bde,acf+ade+bce+bdf}
({a,b}${c,d})${e,f}={ac+bd,ad+bc}${e,f}={ace+bde+adf+bcf,acf+bdf+ade+bce}={ace+adf+bcf+bde,acf+ade+bce+bdf}
となることから分かります。
具体例を書きます。mod5においては
{1,0}{1,3}{0,1}{3,1}
{2,0}{2,1}{0,2}{1,2}
{4,0}{4,2}{0,4}{2,4}
{3,0}{3,4}{0,3}{4,3}
という16(=(5-1)^2)個の整数の2つ組の集合が群になっています。表の中で、右に一個分進むには{1,3}を演算し、下に一個分進むには{2,0}を演算します。一番右まで行ったら次は一番左へ行き、一番下まで行ったら次は一番上に行きます。
以上です。お読みいただきありがとうございました!