a,b,cをピタゴラス数、つまりa,b,cはa^2+b^2=c^2を満たす互いに素な自然数とする
f(x)=(x+a)^2+(x+b)^2-(x+c)^2という関数を考えることで、新たなピタゴラス数や3つの整数の平方の和で表せる平方数が出てくることに気付きました。
では書いていきます
f(x)=x(x+2(a+b-c))なので、f(-2(a+b-c))=0が分かるので、
f(-2(a+b-c))=(-2(a+b-c)+a)^2+(-2(a+b-c)+b)^2-(-2(a+b-c)+c)^2=0
つまり、
(a+2b-2c)^2+(2a+b-2c)^2=(2a+2b-3c)^2であることが分かり、これは新たなピタゴラス数です。
また、f(x)=(x+(a+b-c))^2-(a+b-c)^2であることから、f(-a-b+c)=-(a+b-c)^2が分かるので、
f(-a-b+c)=(-a-b+c+a)^2+(-a-b+c+b)^2-(-a-b+c+c)^2=-(a+b-c)^2
つまり、
(b-c)^2+(a-c)^2+(a+b-c)^2=(a+b-2c)^2であることが分かり、これは3つの整数の平方の和が平方数になっている式であることが分かります。
また、(x+a)^2+(x+b)^2-(x+c)^2という式だけでなく、
(x-a)^2+(x+b)^2-(x+c)^2
(x+a)^2+(x-b)^2-(x+c)^2
(x+a)^2+(x+b)^2-(x-c)^2
という式を考えても同様のことが言えます。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
