a,bを互いに素な自然数の定数、
F(n)が、F(n)+F(n+1)=F(n+2)(また、F(1),F(2)は自然数、F(1)≠F(2))を満たし、
J(n),K(n)を0以上F(n)以下
(ただしF(n)＜aあるいはF(n)＜bとなっているときは、F(n)以下という条件を変えて、a以下あるいはb以下という条件にする)
の整数とする。
a×J(n)-b×K(n)=F(n)となっているとき、
J(n)はJ(n)+J(n+1)=J(n+2)となっている(また、K(n)もJ(n)と同様)と予想しました。
例をあげます
F(n)を1,2,3,5,8,13,21,34……という数列とし、
a=2,b=3とすると、
2×J(1)-3×K(1)=1つまりJ(1)=2,K(1)=1
2×J(2)-3×K(2)=2つまりJ(2)=1,K(2)=0
2×J(3)-3×K(3)=3つまりJ(3)=3,K(3)=1
2×J(4)-3×K(4)=5つまりJ(4)=4,K(4)=1
2×J(5)-3×K(5)=8つまりJ(5)=7,K(5)=2
……となっていき、確かにJ(n)+J(n+1)=J(n+2),K(n)+K(n+1)=K(n+2)となっています。
ただし、ここまで書いておいて悪いのですが、J(5)=4,K(5)=0としても条件を満たしているので、この条件だけだと駄目なときもあるようです。すみません。
0を使わないと式が成立しないとき以外はJ(n),K(n)を0にしないとしたらうまくいくのかな、と思っていますが、確証はありません。
F(n)+F(n+1)=F(n+2)という条件をxF(n)+yF(n+1)=F(n+2)(x,yは自然数)という条件に変えた場合は、
J(n)もxJ(n)+yJ(n+1)=J(n+2)となっている(K(n)もJ(n)と同様)のかなぁと思いました。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
