明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形の差

パスカルの三角形は

 

11
121
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5  10   10  5 1
1   6  15  20  15  6  1
1  7  21  35  35  21  7  1
1  8  28  56  70  56  28  8  1
1  9  36  84  126 126  84  36  9  1

 このようなものでした。

 

今回予想したことは、パスカルの三角形の任意の段の隣り合う3個の数の和をすべて求めてできる列と、同じ個数だけ要素がある段の差を求めると、パスカルの三角形のある段がでてくるというものです。

 

例として1,2,1という段を見ていきます。

隣り合う3個の数の和をすべて求めると、

1,1+2,1+2+1,2+1,1、つまり1,3,4,3,1となり、要素は5個です。

要素が5個の段は1,4,6,4,1なので、二つの差をとると、

0,1,2,1,0、つまり1,2,1となり、パスカルの三角形の三段目が出て来ました。

 

このことがどの段に対しても言えたらいいなぁという予想です。

 

 

拡張も考えました。

パスカルの三角形の任意の段の隣り合う4個の数の和をすべて求めてできる列と、同じ個数だけ要素がある段の差を求め、すべての要素を2で割ると、パスカルの三角形のある段がでてくるという予想です。

例として1,3,3,1という段を考えます。

隣り合う4個の数の和をすべて求めると、

1,4,7,8,7,4,1となります。

同じだけ要素を持つ段は1,6,15,20,15,6,1なので、差をとると、

0,2,8,12,8,2,0、つまり2,8,12,8,2という列が現れ、2で割ると1,4,6,4,1というパスカルの三角形の5段目が現れました。

 

隣り合う数の個数を変えたもののうち小さいものについても、こうなっているだろうと予想しているものがあるので書いておきます。

 

パスカルの三角形の任意の段の隣り合う5個の数の和をすべて求めてできる列と、同じ個数だけ要素がある段の差を求め、できた列の要素の個数より二つ要素が少ないパスカルの三角形の段を足し、すべての要素を3で割ると、パスカルの三角形のある段がでてくる。

 

パスカルの三角形の任意の段の隣り合う6個の数の和をすべて求めてできる列と、同じ個数だけ要素がある段の差を求め、できた列の要素の個数より二つ要素が少ないパスカルの三角形の段を3倍したものを足し、すべての要素を4で割ると、パスカルの三角形のある段がでてくる。

 

パスカルの三角形の任意の段の隣り合う7個の数の和をすべて求めてできる列と、同じ個数だけ要素がある段の差を求め、できた列の要素の個数より二つ要素が少ないパスカルの三角形の段を6倍したものを足し、列の要素の個数より四つ要素が少ないパスカルの三角形の段を引き、すべての要素を5で割ると、パスカルの三角形のある段がでてくる。

 

5個の和をすべて求める場合のみ具体例を書いておきます。

1,4,6,4,1という段を考えます。

隣り合う5個の数の和をすべて求めると、1,5,11,15,16,15,11,5,1となります。

この列と要素の個数が同じ段は1,8,28,56,70,56,28,8,1なので、差を求めると、

0,3,17,41,54,41,17,3,0、つまり3,17,41,54,41,17,3という列が現れます。

この列より要素が二つ少ない、1,4,6,4,1という段を足すと、

3,18,45,60,45,18,3となり、

3で割ると1,6,15,20,15,6,1というパスカルの三角形の段が現れます。

 

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お読みいただきありがとうございました!