a,b,c,dを自然数とします。
a^2+b^2+c^2=d^2となっているとき
(a+d)^2+(b+d)^2+(c+d)^2=(a+b+c+d)^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2
となっています。
証明はこれです↓
両辺を展開して、
(左辺)=a^2+2ad+d^2+b^2+2bd+d^2+c^2+2cd+d^2
(右辺)=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd+a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2
となり、これをa^2+b^2+c^2=d^2も踏まえて整理すると
(左辺)=4d^2+2d(a+b+c)
(右辺)=4d^2+2d(a+b+c)
となり、確かめられました。
これを一般化して、
a[1]^2+a[2]^2+……+a[n]^2=b^2 (nは2以上の自然数)
となっているとき、
(a[1]+b)^2+(a[2]+b)^2+……+(a[n]+b)^2
=(a[1]+a[2]+……+a[n]+b)^2+(a[1]-a[2])^2+(a[1]-a[3])^2+……+(a[n-1]-a[n])^2
となっている、と予想しました。
また、a^2+b^2+c^2=d^2となっているとき、
(a+b)^2+(a+c)^2+(a+d)^2+(b+c)^2+(b+d)^2+(c+d)^2=(a+b+c+d)^2+4d^2
となっています。(証明は展開していけばできます)
これも一般の場合に拡張できるんだったらいいなー
お読みいただきありがとうございました！
