明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

『1+1=2』からはじまる

1+1=2と3^2+4^2=5^2につながりがあり、そのつながりは一般のn角数の範囲まで及んでいることに気付いたので投稿します。

 

一応書いておくと、二乗した数とは、四角数のことでもあります。

また、m番目の二角数はmです。

 

m番目のn角数をA(n,m)と書くことにします。

(A(n,a)+A(n,b)-A(n,c))をP(n)(a,b,c)と書くことにします。

例えば、3+4=7なので3+4-7=A(2,3)+A(2,4)-A(2,7)=0よりP(2)(3,4,7)=0となります。

 

ここで、P(n)(a,b,c)=0となるn,a,b,cの組み合わせの中で、始めに言った、つながりのあるものを列挙します。つながりの仕組みについては後で書きます。

 

P(2)(1,1,2)=0

P(3)(2,2,3)=0

P(4)(3,4,5)=0

P(5)(4,7,8)=0

P(6)(5,11,12)=0

P(7)(6,16,17)=0

P(8)(7,22,23)=0

 

つまりP(n)(n-1,(n^2-n+2)/2,(n^2-n+4)/2)=0となっているのです。

 

また、aを2以上の整数とするとき

P(a)(n-1,(n^2-n+2)/2,(n^2-n+4)/2)=n-aとなっているようです。

a=2のときを例にすると、

P(2)(1,1,2)=0

P(2)(2,2,3)=1

P(2)(3,4,5)=2

P(2)(4,7,8)=3

P(2)(5,11,12)=4

P(2)(6,16,17)=5

P(2)(7,22,23)=6

となっているということです。

 

一般のピタゴラス数すべてに対して同様のつながりを持つn角数の組があるのであればいいなぁと思います。

以上です。間違っているところ、気になったところなどあればコメントお願いします。計算ミスなどがあるかもしれません。

お読みいただきありがとうございました!