1+1=2と3^2+4^2=5^2につながりがあり、そのつながりは一般のn角数の範囲まで及んでいることに気付いたので投稿します。
一応書いておくと、二乗した数とは、四角数のことでもあります。
また、m番目の二角数はmです。
m番目のn角数をA(n,m)と書くことにします。
(A(n,a)+A(n,b)-A(n,c))をP(n)(a,b,c)と書くことにします。
例えば、3+4=7なので3+4-7=A(2,3)+A(2,4)-A(2,7)=0よりP(2)(3,4,7)=0となります。
ここで、P(n)(a,b,c)=0となるn,a,b,cの組み合わせの中で、始めに言った、つながりのあるものを列挙します。つながりの仕組みについては後で書きます。
P(2)(1,1,2)=0
P(3)(2,2,3)=0
P(4)(3,4,5)=0
P(5)(4,7,8)=0
P(6)(5,11,12)=0
P(7)(6,16,17)=0
P(8)(7,22,23)=0
つまりP(n)(n-1,(n^2-n+2)/2,(n^2-n+4)/2)=0となっているのです。
また、aを2以上の整数とするとき
P(a)(n-1,(n^2-n+2)/2,(n^2-n+4)/2)=n-aとなっているようです。
a=2のときを例にすると、
P(2)(1,1,2)=0
P(2)(2,2,3)=1
P(2)(3,4,5)=2
P(2)(4,7,8)=3
P(2)(5,11,12)=4
P(2)(6,16,17)=5
P(2)(7,22,23)=6
となっているということです。
一般のピタゴラス数すべてに対して同様のつながりを持つn角数の組があるのであればいいなぁと思います。
以上です。間違っているところ、気になったところなどあればコメントお願いします。計算ミスなどがあるかもしれません。
お読みいただきありがとうございました!