明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

ピタゴラス操作と三次ピタゴラス数

ピタゴラス数と倍数 その2」の続きです。

 

x^2+y^2+z^2=w^2を満たす互いに素な自然数x,y,z,wを三次ピタゴラス数の四つ組と呼ぶことにします。

 

ピタゴラス数の三つ組(a,b,c)にピタゴラス操作をして現れる三つ組(h,i,j)は、三次ピタゴラス数の四つ組の初めの三つになることに気付きました。

つまり、h^2+i^2+j^2は自然数の平方数になります。

 

証明を書きます。

h=c-a,i=c-b,j=(a+b-c)なので、

h^2+i^2+j^2=(c-a)^2+(c-b)^2+(a+b-c)^2

=a^2+b^2+2c^2-2ac-2bc+a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc

=2a^2+2b^2+3c^2+2ab-4ac-4bc

=a^2+b^2+4c^2+2ab-4ac-4bc

=(a+b)^2-4c(a+b)+4c^2

=(a+b-2c)^2

となることから示せました

 

三次ピタゴラス数から四次ピタゴラス数(a^2+b^2+c^2+d^2=e^2となるような自然数a,b,c,d,eのこと)を作る計算とかあったらいいなと思いますが、まだ思いつけていません。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!