明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

k角数系のパスカルの三角形の足し引き

三角数パスカルの三角形」のk角数への拡張です。

 

タイトルの、「k角数系パスカルの三角形」とは、「k角数系で構成されるパスカルの三角形」で書いたようなパスカルの三角形のことです。この記事を読む前に、先に「k角数系で構成されるパスカルの三角形」を読むことをお勧めします。

 

四角数系のパスカルの三角形で、思いついたことを説明します。

 

四角数系のパスカルの三角形とは、

 

2   1
 2   3   1
2   5   4  1
2    7   9   5   1
2   9  16  14   6   1
2   11  25  30   20  7   1

 

このようなものです。

 

この三角形の三行目以降において、一番左の数を1倍、左から二番目の数を3倍、……左からn番目の数を2n-1倍して、+と-を交互につけて足し合わせると0になることに気付きました。

 

例として、三行目で考えると、

2×1-5×3+4×5-1×7=2-15+20-7=0となり、確かに0になりました。

 

 

三行目以降において、一番右の数を1倍、右から二番目の数を3倍、……右からn番目の数を2n-1倍して、+と-を交互につけて足し合わせても0になります。

 

例として、三行目で考えると、

2×7-5×5+4×3-1×1=14-25+12-1=0となり、確かに0になります。

 

同様に、四行目以降において、左からn番目の数をn番目の四角数倍(つまりn^2倍)し、

+と-を交互につけて足し合わせても0になります。左からではなく右からにしても同様です。

 

また、四角数ではなく四角錐数など、四角数系の数で考えても同様になっているようです。

 

今回は四角数系のパスカルの三角形で四角数系について考えましたが、k角数系のパスカルの三角形でk角数系についても同様のことが言えるだろうと予想しています。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!コメント全然来なくて寂しいので、何かコメントをくれると喜びます!よろしく!